6.5. Функция у = \х\ и её график

Определения и обозначения

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому при x ≥ 0 получаем |x| = x, а при x < 0 — |x| = −x. Например, |5| = 5 и |−5| = 5. Такое определение помогает заменить знак модуля обычным выражением, если известно, положительно число или отрицательно.

Функция y = |x| каждому числу x ставит в соответствие его модуль. Здесь x — аргумент, то есть число, которое мы выбираем, а y — полученное значение функции. Например, если x = −3, то y = |−3| = 3. Это правило нужно, чтобы находить значение функции для любого выбранного аргумента.

График функции — множество точек на координатной плоскости, координаты которых имеют вид (x; |x|). Первая координата каждой точки — выбранный аргумент, вторая — значение функции для него. Например, при x = 2 получаем точку (2; 2), а при x = −2 — точку (−2; 2). По таким точкам можно увидеть, как меняется функция, и изобразить её график.

Как это устроено

Из определения модуля сразу получается запись функции по частям. Когда x ≥ 0, модуль не меняет число, значит y = x; когда x < 0, для получения расстояния до нуля нужно сменить знак числа, значит y = −x. Условие при каждом выражении важно: оно указывает, в какой части числовой прямой это правило работает. Например, при x = −4 используем y = −x и получаем y = 4, а не −4.

Построение графика можно свести к построению двух частей прямых. Справа от нуля, где x ≥ 0, точки удовлетворяют уравнению y = x: например, это (1; 1) и (2; 2). Слева, где x < 0, точки удовлетворяют уравнению y = −x: например, это (−1; 1) и (−2; 2). Достаточно построить несколько точек для каждой стороны и провести через них соответствующие лучи.

Обе части соединяются в точке (0; 0), потому что при x = 0 значение модуля равно нулю. Формула y = x при x ≥ 0 даёт в этой точке y = 0, а формула y = −x при x < 0 приближается к тому же значению, когда x приближается к нулю слева. Поэтому на графике нет разрыва: две прямые части сходятся в начале координат и образуют угол, направленный вверх.

График симметричен относительно оси y, потому что противоположные аргументы дают одинаковые значения функции: |−x| = |x|. Например, точкам (3; 3) и (−3; 3) соответствуют одинаковые вторые координаты, а сами точки расположены по разные стороны от оси y. Значит, если мысленно отразить одну половину графика относительно этой оси, она совпадёт с другой половиной. Отражение относительно оси x такого совпадения не даёт.

График помогает увидеть свойства функции. Аргументом может быть любое действительное число, а значение y всегда неотрицательно и равно нулю только при x = 0. Слева от нуля, при движении от −∞ к 0, значения функции уменьшаются; справа от нуля, при движении от 0 к +∞, они увеличиваются. Таким образом, нуль функции — x = 0, и она убывает до этой точки, а затем возрастает.

Основные свойства функции y = |x|

Таблица служит краткой проверкой, когда нужно описать функцию или сравнить её с другой. Например, если ищешь нуль, смотри соответствующую строку и проверяй, где график пересекает ось x. Свойства убывания и возрастания рассматривай отдельно слева и справа от нуля, потому что в этой точке поведение меняется.

Разбор задач

Постройте график функции y = |x|, составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2.

1. Для каждого аргумента вычислим модуль. При x = −2 и x = −1 значения равны 2 и 1, при x = 0 значение равно 0, а при x = 1 и x = 2 получаем 1 и 2.

2. Запишем пары координат: (−2; 2), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 2). Каждая первая координата взята из условия, а вторая найдена по правилу y = |x|.

3. Отметим эти точки на координатной плоскости. Точки с противоположными аргументами имеют одинаковые значения y, поэтому левая и правая части должны быть зеркальными относительно оси y.

4. Проведём через точки два луча: слева — часть прямой y = −x, справа — часть y = x. Они соединяются в точке (0; 0).

Ответ: график состоит из лучей y = −x при x < 0 и y = x при x ≥ 0.

Найдите значения функции y = |x| при x = −3,5 и x = 2, затем укажите, при каких x функция равна 4.

1. Подставим первое значение аргумента: y = |−3,5| = 3,5. Знак меняется, потому что аргумент отрицательный, а значение модуля должно быть неотрицательным.

2. Подставим x = 2: y = |2| = 2. Положительное число при взятии модуля не меняется.

3. Чтобы найти аргументы, при которых функция равна 4, запишем уравнение |x| = 4. Модуль равен четырём на двух одинаковых расстояниях от нуля — справа и слева.

4. По определению модуля получаем x = 4 или x = −4. Проверка показывает: |4| = 4 и |−4| = 4.

Ответ: значения функции — 3,5 и 2; уравнение |x| = 4 имеет решения x = −4 и x = 4.

Постройте график y = |x − 2| и определите его вершину и нули.

1. Сначала найдём, когда выражение под знаком модуля равно нулю: x − 2 = 0, откуда x = 2. Именно при этом аргументе значение функции становится нулём.

2. Сравним выражение с правилом y = |x|. Вместо x здесь стоит x − 2, поэтому прежнее значение аргумента нужно увеличить на 2, чтобы получить ту же точку графика.

3. Значит, график y = |x| сдвигается на 2 единицы вправо. Его вершина, которая раньше находилась в (0; 0), теперь находится в (2; 0).

4. Проверим нуль: при x = 2 получаем y = |2 − 2| = 0. Других нулей нет, так как модуль равен нулю только тогда, когда выражение внутри него равно нулю.

Ответ: вершина графика — (2; 0), нуль функции — x = 2.

Типичные ошибки

Иногда считают, что |x| всегда равно x. Это верно только при x ≥ 0; при отрицательном x модуль равен −x, потому что он показывает расстояние до нуля. Ошибку часто вызывает то, что знак модуля принимают за обычные скобки. Проверяй себя на примере: |−3| должно быть 3, а не −3.

При построении графика для отрицательных x некоторые откладывают отрицательные значения y. Но модуль не бывает отрицательным, поэтому все точки графика находятся на оси x или выше неё. Ошибка появляется, если вместо вычисления |x| просто переносят знак аргумента в значение функции. Проверь несколько точек: например, при x = −2 получаем y = 2.

Неверно говорить, что функция принимает только положительные значения. При x = 0 её значение равно нулю, поэтому ноль входит в множество значений. Такое упущение возникает, когда замечают лишь, что график расположен выше оси x. Чтобы проверить ответ, подставь x = 0 в формулу: |0| = 0.

График иногда считают несимметричным или отражают его относительно оси x. Однако равенство |−x| = |x| связывает точки с противоположными аргументами и одинаковыми значениями y, значит, симметрия идёт относительно оси y. Ошибку легко проверить парой точек (−2; 2) и (2; 2). При отражении относительно оси x их координаты по вертикали изменились бы, и точки не совпали бы с графиком.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости, строить график по таблице и понимать, что означает модуль числа. Эти знания позволяют перейти от вычисления отдельных значений к изображению всей функции. График y = |x| пригодится при построении графиков, где под знаком модуля стоит выражение, например x − 2. Также модуль встречается в уравнениях и неравенствах: его определение помогает разобрать такие задачи по случаям.

Что запомнить

• Для любого x значение |x| неотрицательно.
• y = |x| равно x при x ≥ 0 и −x при x < 0.
• График проходит через начало координат и имеет форму угла.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Множество значений — неотрицательные числа.
• График симметричен относительно оси y.