6.6*. Функции у = [х] и у = {х}

Определения и обозначения

Целая часть числа [x] — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [3,7] = 3, а [−3,7] = −4: в отрицательном случае целое число −3 уже больше, чем −3,7. Это обозначение помогает выбрать целочисленную границу, которая находится слева от числа или совпадает с ним.

Функция y = [x] каждому действительному числу x ставит в соответствие его целую часть. Например, для всех чисел от 2 до 3, не включая 3, значение функции равно 2. Такая функция удобна, когда нужно узнать, в каком промежутке между целыми числами находится число.

Дробная часть числа {x} — разность числа и его целой части: {x} = x − [x]. Например, {3,7} = 3,7 − 3 = 0,7, а {−3,7} = −3,7 − (−4) = 0,3. Определение применимо и к отрицательным числам, для которых привычное отбрасывание цифр после запятой может привести к ошибке.

Функция y = {x} каждому числу x ставит в соответствие его дробную часть. Её значение показывает расстояние от x до ближайшего целого числа, не превосходящего x. Эта функция позволяет выделить часть числа, оставшуюся после вычитания целой части, и всегда принимает значения от 0 включительно до 1 не включительно.

Как это устроено

Чтобы найти [x], нужно расположить число на координатной прямой и выбрать целое число, которое не правее него, но ближе всех остальных. Если x целое, то [x] = x; если x = 4,6, то [x] = 4. Для отрицательного нецелого числа тоже выбирают целое слева: число −2,4 лежит между −3 и −2, поэтому [−2,4] = −3, а не −2. Это не округление к нулю: такое округление может дать число, которое больше исходного.

Пусть [x] = n. По определению n — целое число не больше x, а следующее целое n + 1 уже больше x, поэтому n ≤ x < n + 1. Подставив [x] вместо n, получаем [x] ≤ x < [x] + 1. Это условие однозначно определяет целую часть: между любыми двумя соседними целыми числами находится ровно один промежуток вида [n, n + 1), и число x принадлежит только одному такому промежутку.

Дробная часть равна x − [x]. Из неравенства [x] ≤ x следует, что разность неотрицательна, а из x < [x] + 1 следует, что эта разность меньше 1. Значит, 0 ≤ {x} < 1, и значение 1 получить невозможно. Если x целое, то [x] = x, поэтому {x} = x − x = 0.

На промежутке [n, n + 1) целая часть каждого числа равна n, потому что n — нижняя целая граница, а n + 1 ещё не достигнута. Поэтому график y = [x] состоит из горизонтальных участков: при переходе через целое число n значение функции становится равным n. В точке n значение уже равно n, а не предыдущему целому числу, поэтому левый конец каждого участка включён, правый — исключён.

Для графика y = {x} на том же промежутке подставляем [x] = n в формулу дробной части и получаем {x} = x − n. Это уравнение прямой с наклоном 1: при увеличении x дробная часть тоже увеличивается. Участок начинается в точке (n, 0), которая входит в график, и приближается к значению 1 при x, стремящемся к n + 1. Но точка с абсциссой n + 1 относится уже к следующему промежутку, где дробная часть снова равна 0.

Сравнение функций целой и дробной части

Сначала определите, какая часть числа нужна: целая часть задаёт нижнюю целую границу, а дробная показывает оставшуюся часть. Затем используйте строку таблицы, соответствующую свойству или промежутку. Для отрицательных чисел особенно полезно проверять результат по неравенству [x] ≤ x < [x] + 1.

Разбор задач

Вычислить [3,7], [−3,7], {3,7} и {−3,7}

Найдём сначала целые части, а после этого применим формулу дробной части. При отрицательном числе нельзя просто отбросить десятичные цифры: сначала проверяем, какое целое число не превосходит исходное.

1. Число 3,7 находится между 3 и 4, поэтому [3,7] = 3.
2. Число −3,7 находится между −4 и −3; из этих целых только −4 не превосходит −3,7. Значит, [−3,7] = −4.
3. Вычисляем дробную часть положительного числа: {3,7} = 3,7 − 3 = 0,7.
4. Вычисляем дробную часть отрицательного числа: {−3,7} = −3,7 − (−4) = 0,3.

Проверка: обе дробные части находятся в промежутке от 0 до 1, а для отрицательного числа целая и дробная части в сумме дают исходное число. Ответ: [3,7] = 3, [−3,7] = −4, {3,7} = 0,7, {−3,7} = 0,3.

Решить уравнение [x] = 2

Уравнение спрашивает, при каких x целая часть равна 2. По определению это происходит, когда x не меньше 2, но ещё не дошло до следующего целого числа 3. Поэтому равенство можно заменить двойным неравенством.

1. Записываем правило для целой части: если [x] = n, то n ≤ x < n + 1.
2. Подставляем n = 2 и получаем 2 ≤ x < 3.
3. Проверяем границы: при x = 2 целая часть действительно равна 2, а при x = 3 она уже равна 3.

Следовательно, решения образуют промежуток [2, 3). Квадратная скобка означает, что число 2 входит в ответ, а круглая — что число 3 не входит.

Решить неравенство {x} ≥ 0,6

Дробная часть меняет формулу на каждом промежутке между соседними целыми числами. Поэтому сначала выбираем произвольное целое n и рассматриваем x на промежутке [n, n + 1), где {x} = x − n. После решения неравенства не забываем пересечь результат с этим промежутком.

1. На [n, n + 1) подставляем формулу дробной части: x − n ≥ 0,6.
2. Прибавляем n к обеим частям и получаем x ≥ n + 0,6.
3. С учётом исходного промежутка имеем n + 0,6 ≤ x < n + 1.
4. Объединяем ответы для всех целых n, поскольку промежутки [n, n + 1) покрывают всю числовую прямую.

Ответ: x ∈ [n + 0,6, n + 1) при любом целом n. Правая граница исключена: в точке n + 1 дробная часть становится равной 0, поэтому неравенство уже не выполняется.

Типичные ошибки

• Считать [−2,4] равной −2. Так получается, если искать целое, ближайшее к нулю, а не наибольшее целое, которое не превосходит число. Проверьте ответ по условию: −2 больше −2,4, значит, подходит −3.
• Вычислять {x} отбрасыванием цифр после запятой. Для отрицательных чисел такой способ не учитывает, что целая часть может быть на единицу меньше числа, полученного простым отбрасыванием. Всегда используйте формулу {x} = x − [x] и проверяйте, что ответ неотрицателен и меньше 1.
• Допускать дробную часть, равную 1. Это происходит, если забыть, что верхняя граница промежутка не включена. Проверка проста: для любого x должно выполняться 0 ≤ {x} < 1.
• Включать правую границу в промежуток [n, n + 1). В точке n + 1 целая часть уже равна n + 1, а дробная часть снова равна 0. Поэтому при решении неравенств проверяйте правую границу отдельно и оставляйте её исключённой, если она не удовлетворяет условию.

Связь с другими темами

Для работы с этими функциями нужно уметь сравнивать целые и действительные числа, решать неравенства и отмечать промежутки на координатной прямой. Условие [x] = n сразу превращается в двойное неравенство n ≤ x < n + 1, поэтому функции целой и дробной частей помогают решать уравнения и неравенства с такими выражениями. Дробная часть связана с периодическими функциями: при прибавлении любого целого числа она не меняется, то есть {x + n} = {x}. Это свойство позволяет сводить рассмотрение к одному промежутку длины 1.

Что запомнить

• [x] — наибольшее целое число, не превосходящее x.
• [x] ≤ x < [x] + 1.
• {x} = x − [x].
• Для любого действительного x: 0 ≤ {x} < 1.
• Если x — целое, то [x] = x и {x} = 0.
• Для любого целого n верно {x + n} = {x}.
• На промежутке [n, n + 1) функция [x] равна n.