§ 7. Квадратичная функция

Определения и обозначения

Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, c — свободный член. По этим коэффициентам можно исследовать график и вычислять значения функции.

Парабола — график квадратичной функции. Она похожа на плавную чашу или перевёрнутую чашу: её ветви направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0. Форма параболы помогает увидеть, где функция возрастает, убывает и достигает крайнего значения.

Вершина параболы — точка, в которой функция принимает наименьшее или наибольшее значение. Если ветви направлены вверх, это самая нижняя точка графика; если вниз — самая верхняя. Зная вершину, можно быстро определить крайнее значение функции.

Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой её левая и правая части зеркально совпадают. Она проходит через вершину и делит график на две одинаковые части. Благодаря симметрии, зная одну точку параболы, можно найти другую точку на той же высоте.

Как это устроено

Чтобы выделить полный квадрат в выражении ax² + bx + c, сначала вынесем a за скобки при слагаемых с x: a(x² + (b/a)x) + c. Внутри скобок добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при x: (b/(2a))². Тогда получим y = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Сравнив это с видом a(x − m)² + n, видим, что вершина имеет координаты (m; n), где m = −b/(2a), n = c − b²/(4a).

Квадрат (x − m)² не бывает отрицательным, поэтому знак a определяет, в какую сторону от вершины идут значения функции. При a > 0 умножение квадрата на a даёт неотрицательное число: чем дальше x от m, тем выше y. При a < 0 результат неположителен, и при удалении от вершины y становится меньше. Поэтому ветви направлены вверх в первом случае и вниз во втором.

В записи a(x − m)² + n ось симметрии имеет уравнение x = m: точки, отстоящие от m на одинаковое расстояние, дают одинаковый квадрат. Так как m = −b/(2a), ось задаётся формулой x = −b/(2a), и её положение зависит от a и b. Для пересечения с осью y берут x = 0, поэтому y = c; точка пересечения — (0; c).

Вершина задаёт крайнее значение функции, потому что квадрат в записи a(x − m)² + n минимален при x = m и равен там нулю. Если a положительно, к n прибавляется неотрицательное число, значит, y ≥ n и минимум равен n. Если a отрицательно, из n вычитается неотрицательное число, поэтому y ≤ n и максимум равен n.

Для построения сначала находят вершину и проводят через неё ось симметрии. Затем выбирают несколько значений x, подставляют их в формулу и отмечают полученные точки. Удобно брать значения по обе стороны от оси на одинаковом расстоянии: соответствующие точки будут симметричны. После этого через точки проводят плавную линию параболы с нужным направлением ветвей.

Свойства функции y = ax² + bx + c

Сначала определите знак a, чтобы выбрать нужный столбец. Затем найдите абсциссу вершины по формуле и вычислите значение функции в этой точке. Оно задаёт границу области значений: включается в неё, поскольку достигается в вершине.

Разбор задач

Построить график функции y = x² − 4x + 3

Чтобы построить параболу, сначала найдём её середину и направление ветвей, а затем выберем точки по обе стороны от середины. Здесь a = 1, b = −4, c = 3, поэтому ветви направлены вверх. Запишем функцию через квадрат двучлена: так вершина будет видна сразу.

1. Выделяем квадрат: y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1.
2. Из записи находим вершину (2; −1) и ось симметрии x = 2.
3. Вычисляем значения: при x = 1 и x = 3 получаем y = 0; при x = 0 и x = 4 получаем y = 3.
4. Отмечаем точки (2; −1), (1; 0), (3; 0), (0; 3), (4; 3) и проводим через них плавную параболу.

Пары точек с одинаковыми значениями y лежат по разные стороны оси x = 2. Вершина — нижняя точка графика, что согласуется с положительным коэффициентом при x². Ответ: парабола с вершиной (2; −1) и осью симметрии x = 2.

Найти наименьшее значение функции y = 2x² + 8x + 5 и указать, при каком x оно достигается

Коэффициент a = 2 положительный, значит, парабола направлена вверх и имеет минимум в вершине. Можно найти абсциссу вершины по формуле, а затем подставить её в функцию. Чтобы проверить вычисления, дополнительно выделим полный квадрат.

1. Находим абсциссу вершины: x = −8/(2 · 2) = −2.
2. Вычисляем значение функции: y(−2) = 2 · (−2)² + 8 · (−2) + 5 = 8 − 16 + 5 = −3.
3. Проверяем выделением квадрата: y = 2(x + 2)² − 3. Квадрат неотрицателен и обнуляется при x = −2.

Следовательно, значение функции не может быть меньше −3. Оно достигается в вершине, когда x = −2. Ответ: наименьшее значение равно −3 при x = −2.

При каких значениях x функция y = −x² + 6x − 5 принимает значение 4?

Здесь требуется найти точки графика, у которых ордината равна 4. Для этого приравняем выражение функции к четырём и перенесём все слагаемые в одну сторону. Полученное квадратное уравнение решим разложением на множители.

1. Записываем условие: −x² + 6x − 5 = 4.
2. Переносим 4 в левую часть: −x² + 6x − 9 = 0. Умножаем обе части на −1: x² − 6x + 9 = 0.
3. Представляем квадратный трёхчлен как квадрат разности: (x − 3)² = 0, откуда x = 3.
4. Проверяем: −3² + 6 · 3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4.

Уравнение имеет один корень, потому что квадрат равен нулю только при x = 3. На графике это означает, что парабола касается прямой y = 4 в одной точке. Ответ: x = 3.

Типичные ошибки

Иногда квадратичной называют функцию, у которой коэффициент a равен нулю. Тогда слагаемое ax² исчезает, и остаётся линейная функция y = bx + c или постоянное значение. Ошибка возникает, если смотреть только на наличие x в записи. Проверяйте именно коэффициент при x²: он должен быть отличен от нуля.

Можно перепутать координату x вершины и значение функции в вершине. Формула −b/(2a) даёт только абсциссу, а не наименьшее или наибольшее значение y. Такая путаница появляется из-за того, что обе величины связаны с вершиной. Сначала найдите x = −b/(2a), затем подставьте его в формулу и вычислите y.

При выделении полного квадрата часто неверно определяют знак внутри скобок или забывают компенсировать добавленное число. Например, x² − 4x превращается в (x − 2)² − 4, а не просто в (x − 2)². Ошибку легче допустить, если выполнять преобразование в уме. Раскройте скобки в полученном выражении и проверьте, что исходный трёхчлен восстановился.

Ещё одна ошибка — считать, что ветви любой параболы направлены вверх. Это верно только при a > 0, а отрицательный коэффициент переворачивает график вниз. Ошибку допускают, перенося форму графика y = x² на все квадратичные функции. Перед построением обязательно посмотрите на знак старшего коэффициента a.

Связь с другими темами

Для работы с квадратичной функцией нужно уметь подставлять числа в формулу, преобразовывать выражения и решать квадратные уравнения. Выделение полного квадрата связывает тему с формулами сокращённого умножения, а поиск пересечений с осью x — с решением уравнений. Графики парабол помогают исследовать квадратные уравнения и неравенства: по ним можно увидеть число корней и сравнить значения выражений. В задачах о движении, площади и других величинах квадратичная функция позволяет находить наибольшее или наименьшее значение.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• График квадратичной функции — парабола.
• Ось симметрии параболы задаётся формулой x = −b/(2a).
• Вершина параболы имеет абсциссу −b/(2a).
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Вершина задаёт наименьшее или наибольшее значение функции.

Форма y = a(x − m)² + n помогает увидеть вершину (m; n) и определить крайнее значение функции. Если ветви направлены вверх, это минимум; если вниз — максимум.