7.1. Функция у = ах2 (а > 0)

Определения и обозначения

Функция y = ax² при a > 0 — правило, по которому каждому значению x соответствует значение y, равное произведению положительного числа a на квадрат x. Например, если a = 2 и x = 3, то y = 2 · 3² = 18. Буква a обозначает постоянное положительное число, а x может принимать разные значения. Такая запись позволяет по любому выбранному x вычислить соответствующее y.

Квадратичная функция — функция, в формуле которой переменная возводится в квадрат; в этой теме рассматривается её частный случай y = ax². «Частный случай» означает, что изучается не весь широкий вид квадратичных формул, а формула без дополнительных слагаемых. Это упрощает исследование и позволяет заметить основные свойства графика. Позже те же идеи помогут разбираться и с более сложными формулами.

График функции y = ax² называется параболой. Это плавная кривая с характерной U-образной формой: от нижней точки она поднимается вправо и влево. Именно график помогает увидеть сразу много значений функции и сравнить их. При положительном a парабола раскрыта вверх.

Вершина параболы — её крайняя точка; для y = ax² это точка (0; 0). Ось симметрии — прямая, относительно которой левая и правая части графика зеркально совпадают; здесь это ось Oy. Зная вершину и ось, проще правильно расположить график на координатной плоскости. Эти ориентиры также помогают проверять построение.

Как это устроено

Чтобы построить график по таблице, сначала выбирают несколько значений x, обычно среди них берут ноль и числа с противоположными знаками. Для каждого значения вычисляют y = ax² и записывают результат рядом с x. Затем пары чисел изображают точками на координатной плоскости и плавно соединяют. Несколько точек показывают форму кривой, но соединять их нужно плавно, а не отрезками.

График проходит через начало координат, потому что при x = 0 квадрат тоже равен нулю, а значит y = 0. Симметрия возникает из равенства квадратов противоположных чисел: например, 2² и (−2)² одинаковы. Поэтому точкам с координатами x и −x соответствуют одинаковые высоты y. Если одна сторона построенной кривой не отражается в другую относительно Oy, при вычислении или нанесении точек допущена ошибка.

Коэффициент a задаёт масштаб вертикальных значений: при одном и том же x, отличном от нуля, чем больше a, тем больше y. Поэтому точки графика с большим коэффициентом расположены выше, а сама парабола выглядит более крутой и узкой. При меньшем положительном a значения y ближе к нулю, и кривая получается положе. Например, при x = 2 формула с a = 3 даст большее значение, чем формула с a = 0,5.

Ветви направлены вверх, потому что x² не бывает отрицательным, а умножение неотрицательного числа на положительное a сохраняет неотрицательный результат. Значит, y не может оказаться ниже нуля, и график не опускается под ось Ox. При x = 0 результат равен нулю, а при остальных x квадрат положителен. Поэтому ноль — нижняя точка графика.

При движении слева к нулю значения функции уменьшаются: модуль x становится меньше, а вместе с ним уменьшается x² и произведение ax². После перехода через ноль модуль x растёт, поэтому растут квадрат и значение функции. Так функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. В точке x = 0 она достигает наименьшего значения 0.

Свойства функции y = ax² при a > 0

Таблица помогает быстро проверить построенный график или описать функцию без вычисления новых значений. Например, если график уходит ниже оси Ox или не имеет точки (0; 0), он не соответствует условиям. При решении задачи выбери из таблицы только те свойства, которые нужны.

Разбор задач

1. Таблица значений и график y = 2x²

Условие. Составить таблицу значений и построить график функции y = 2x² для x = −2, −1, 0, 1, 2. Сначала подставим каждое число в формулу, не забывая возвести в квадрат всё значение x. Отрицательное число при возведении в квадрат даёт положительный результат. После вычислений нанесём полученные пары координат.

1. При x = −2: y = 2 · (−2)² = 2 · 4 = 8. При x = −1: y = 2 · (−1)² = 2.
2. При x = 0: y = 2 · 0² = 0. При x = 1: y = 2 · 1² = 2.
3. При x = 2: y = 2 · 2² = 8. Нанесём точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8) и плавно соединим их.

Ответ. Значения y по порядку равны 8, 2, 0, 2, 8. Точки располагаются симметрично относительно Oy, и кривая проходит через (0; 0). Такая проверка помогает заметить ошибку, если вычисленные или нанесённые точки не совпали попарно.

2. Сравнение графиков y = 0,5x² и y = 3x²

Условие. Определить, какая парабола уже, и сравнить значения функций при x = 2. В формулах отличаются только положительные коэффициенты, поэтому форму сравниваем по числам 0,5 и 3. Большему коэффициенту соответствует более крутая и узкая парабола. Значения при данном x найдём отдельной подстановкой.

1. Сравним коэффициенты: 3 > 0,5. Значит, график y = 3x² уже, чем график y = 0,5x².
2. Для первой функции при x = 2 получаем y = 0,5 · 2² = 0,5 · 4 = 2.
3. Для второй функции получаем y = 3 · 2² = 3 · 4 = 12. При одинаковом x значение второй функции больше.

Ответ. Более узкая парабола — y = 3x². При x = 2 значения функций равны соответственно 2 и 12. Проверка подстановкой показывает, как различие коэффициентов отражается на высоте графиков.

3. По точке найти коэффициент и проверить принадлежность

Условие. Точка A(−3; 18) принадлежит графику y = ax². Найти a и определить, принадлежит ли графику точка B(2; 8). Координаты точки на графике должны удовлетворять формуле: первая координата подставляется вместо x, вторая — вместо y. Сначала используем это условие для A, затем проверим его для B.

1. Подставим координаты A: 18 = a · (−3)². Получим 18 = 9a, откуда a = 2.
2. Теперь формула графика имеет вид y = 2x². Подставим x = 2: y = 2 · 2² = 8.
3. Полученное значение совпало с второй координатой точки B. Значит, её координаты удовлетворяют уравнению графика.

Ответ. a = 2; точка B(2; 8) принадлежит графику. Если бы вычисленное значение y не равнялось 8, точка не лежала бы на этой параболе. Так проверяют принадлежность любой заданной точки.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при a > 0 ветви направлены вниз. Так можно решить по аналогии с другими знакомыми графиками, не проверив знак коэффициента. Для самопроверки подставь любое ненулевое x: значение ax² будет положительным, а при x = 0 получится ноль. Значит, график находится над осью Ox и раскрывается вверх.

Ошибка — ожидать отрицательное y при отрицательном x. Причина в том, что знак x переносят на результат, забывая о возведении в квадрат: например, (−2)² = 4, а не −4. Подставляй отрицательное число в скобках и сначала вычисляй квадрат. При положительном a результат неотрицателен при любом x.

Ошибка — думать, что больший коэффициент делает параболу шире. Часто это путают, потому что «больше» связывают с большим расстоянием между ветвями. Проверь значения при одном ненулевом x: чем больше a, тем выше точка и тем круче ветви, поэтому парабола уже. Сравнивать нужно положительные коэффициенты, а не только вид отдельных точек на рисунке.

Ошибка — строить левую и правую части графика по-разному. Это случается, если значения для отрицательных x вычислены с ошибкой или точки нанесены неточно. Для самопроверки возьми пару x и −x: значения y обязаны совпасть, например, при 1 и −1. На графике соответствующие точки должны находиться на одинаковой высоте по обе стороны от Oy.

Связь с другими темами

Перед изучением функции полезно уметь возводить числа в квадрат, подставлять значения в формулу и отмечать точки на координатной плоскости. Также понадобятся понятия функции, области определения и графика функции: они помогают читать формулу и понимать, какие значения могут принимать переменные. Если эти действия вызывают затруднение, стоит повторить их на простых примерах. Это сделает построение параболы понятнее.

Функция y = ax² пригодится при изучении квадратных уравнений и квадратичных функций общего вида. График позволяет наглядно исследовать уравнение и сравнивать значения выражений. В задачах графический способ помогает увидеть, где выполняется нужное условие, а где нет. Поэтому свойства параболы становятся основой для дальнейших тем алгебры.

Что запомнить

• При a > 0 график y = ax² — парабола с ветвями, направленными вверх.
• Вершина параболы находится в точке (0; 0).
• Ось симметрии графика — ось Oy.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Множество значений — неотрицательные числа.
• Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0.
• Чем больше a, тем уже парабола.