7.2. Функция у = ах2 (а * 0)

Определения и обозначения

Квадратичная функция вида y = ax² — это функция, заданная формулой, в которой x возводится в квадрат и умножается на постоянный коэффициент a. Коэффициент a не равен нулю: если бы a = 0, при любом x получилось бы y = 0, то есть функция перестала бы быть квадратичной. Значение a влияет на вид графика, поэтому его знак и модуль нужно учитывать при построении.

График функции y = ax² называется параболой. У этой параболы вершина находится в начале координат — точке (0; 0), потому что при x = 0 значение y тоже равно нулю. Положение вершины удобно знать заранее: это центральная точка, от которой при построении откладывают остальные точки графика.

Ось симметрии параболы — ось Oy. Симметрия означает, что если на графике есть точка с абсциссой x, то там же есть точка с абсциссой −x и такой же ординатой. Благодаря этому можно построить одну половину параболы и отразить её относительно Oy.

Коэффициент a — число, от которого зависят направление ветвей параболы и её ширина. Знак коэффициента показывает, вверх или вниз направлены ветви, а модуль |a| помогает сравнить, насколько парабола узкая или широкая. Разделяя эти два влияния, легче не перепутать, как изменится график при смене коэффициента.

Как это устроено

Заменим в формуле x на −x: получится y = a(−x)². Поскольку квадрат отрицательного числа положителен и (−x)² = x², значение функции останется тем же: a(−x)² = ax². Поэтому, например, для x = 2 и x = −2 получаются одинаковые значения y, а соответствующие точки лежат по разные стороны от Oy на одном уровне. Так возникает симметрия графика относительно этой оси.

Чтобы понять направление ветвей, рассмотрим знак выражения ax². Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому при a > 0 произведение ax² также неотрицательно: выше вершины значения не опускаются, и ветви идут вверх. При a < 0 произведение неположительно, так как положительное число умножается на отрицательное, поэтому точки графика лежат на уровне y = 0 или ниже него. В этом случае ветви направлены вниз.

Сравним значения функции при одном и том же ненулевом x, но с разными коэффициентами. Если модуль a увеличить, произведение |a|x² станет больше, значит, точки с такой абсциссой удалятся от оси Ox по вертикали. Ветви расходятся круче, и парабола выглядит уже. Если модуль коэффициента уменьшить, значения по модулю становятся меньше, точки приближаются к Ox, а парабола становится шире; знак a при этом по-прежнему отвечает за направление ветвей.

При x = 0 формула даёт y = a · 0² = 0, поэтому вершина находится в точке (0; 0). Если a > 0, все остальные значения функции не меньше нуля, и ноль является наименьшим значением. Если a < 0, все значения не больше нуля, и ноль является наибольшим. Так знак коэффициента определяет не только направление ветвей, но и то, каким будет значение функции в вершине.

Для построения графика удобно выбрать несколько значений x, вычислить для каждого y и занести пары координат в таблицу. Например, значения при x = 1 и x = −1 совпадают, поэтому достаточно вычислить одно из них и отметить две симметричные точки. После нанесения точек их соединяют плавной линией, не заменяя параболу отрезками. Чем точнее выбраны точки, тем легче увидеть форму графика.

Свойства функции y = ax² в зависимости от коэффициента a

Сначала найди в столбце знак своего коэффициента, затем прочитай соответствующие ему множество значений и направление ветвей. Область определения, вершина и ось симметрии одинаковы при обоих знаках a. Скобка в записи множества показывает, включено ли граничное значение: ноль включён, потому что достигается при x = 0.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = 2x² для x = −2, −1, 0, 1, 2

Нужно вычислить ординату каждой точки, подставив выбранное значение x в формулу. Квадрат возводим прежде, чем умножать на 2. Проверим, что значения при противоположных x совпадают, и используем это при построении.

1. Подставим x = −2: y = 2 · (−2)² = 2 · 4 = 8.
2. Для x = −1 получим y = 2 · 1 = 2, а при x = 0 получим y = 0.
3. По симметрии при x = 1 значение тоже равно 2, а при x = 2 — 8.
4. Отметим точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8) и проведём через них плавную линию.

Точки при x и −x стоят на одинаковой высоте, а вершина находится в начале координат. Коэффициент 2 положительный, поэтому полученная парабола направлена вверх. Ответ: график проходит через указанные пять точек и симметричен относительно Oy.

Задача 2. Сравнить графики y = x² и y = −x²

Чтобы сравнить графики, рассмотрим их значения при одинаковых x. Во второй формуле знак всего выражения противоположен знаку в первой, поэтому точки с теми же абсциссами окажутся по разные стороны от Ox. Проверим это на нескольких значениях и отдельно учтём вершину.

1. При x = 0 обе функции дают y = 0, значит, графики имеют общую точку (0; 0).
2. При x = 1 первая функция даёт 1, а вторая −1; при x = −1 значения также равны 1 и −1.
3. Коэффициент первой функции равен 1 и положителен, поэтому её ветви направлены вверх.
4. Коэффициент второй функции равен −1 и отрицателен, поэтому её ветви направлены вниз; каждая точка (x; x²) переходит в точку (x; −x²).

При изменении знака y, но сохранении x точка отражается относительно оси Ox. Поэтому график y = −x² является отражением графика y = x² относительно Ox, и обе параболы имеют вершину (0; 0) и ось симметрии Oy. Ответ: первая парабола направлена вверх, вторая — вниз.

Задача 3. График y = ax² проходит через точку (2; −8)

Если точка лежит на графике, её координаты должны удовлетворять формуле функции. Подставим абсциссу 2 вместо x, а ординату −8 вместо y. Так мы получим уравнение, из которого можно найти коэффициент и определить его знак.

1. Подставим координаты точки: −8 = a · 2².
2. Вычислим квадрат: −8 = 4a.
3. Разделим обе части уравнения на 4: a = −2.
4. Проверим результат: при x = 2 формула даёт y = −2 · 4 = −8, как и требуется.

Коэффициент равен −2, поэтому он отрицателен и ветви параболы направлены вниз. Условие «проходит через точку» позволило не строить весь график, а найти параметр по одной паре координат. Ответ: a = −2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при a < 0 парабола направлена вверх. Такое представление может возникнуть, если смотреть только на квадрат x² и забыть, что его умножают на отрицательное число. Проверь себя подстановкой x = 1: при отрицательном a значение y будет отрицательным, значит, ветви идут вниз от вершины.

Ошибка: путать влияние знака a и его модуля. Знак отвечает за направление ветвей, а модуль — за ширину, но эти свойства часто смешивают, когда сравнивают графики. Чтобы проверить рассуждение, сначала определи знак и направление, а затем сравни |a|: больший модуль означает более узкую параболу.

Ошибка: строить график без симметрии относительно Oy. Так бывает, когда значения для положительных и отрицательных x вычисляют отдельно и случайно получают разные результаты. Проверь равенство a(−x)² = ax²: если абсциссы противоположны, ординаты должны совпасть, а точки — стоять на одинаковом расстоянии от Oy.

Ошибка: считать, что вершина параболы находится в точке (a; 0). Коэффициент в формуле влияет на форму графика, но не сдвигает вершину по горизонтали. Подставь x = 0: получится y = 0, поэтому вершина всегда (0; 0); если в решении указана другая точка, проверь подстановку.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужно уметь возводить числа в квадрат, подставлять значения в выражение и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки уже применяются при изучении функций и построении графика линейной функции. График y = x² служит основой для сравнения: коэффициент a показывает, как меняются его ширина и направление ветвей. Позже график y = ax² поможет разбираться с квадратными уравнениями и квадратичной функцией общего вида.

Что запомнить

• В функции y = ax² коэффициент a не равен нулю.
• Область определения функции — все действительные числа.
• График функции — парабола с вершиной в точке (0; 0).
• Ось симметрии параболы — ось Oy.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Чем больше |a|, тем уже парабола.