7.3. График функции у = а(х — х0)^2 + у0

Определения и обозначения

Функция вида y = a(x − x₀)² + y₀, где a ≠ 0, задаёт параболу. Параметр a — число, умножающее квадрат выражения, а x₀ и y₀ задают положение графика на координатной плоскости. Такая запись удобна тем, что вершину параболы можно определить сразу, не преобразуя формулу.

Вершина параболы — точка с координатами (x₀; y₀), в которой функция достигает минимума или максимума. Какой именно это случай, зависит от знака a: при положительном a вершина — нижняя точка, при отрицательном — верхняя. Знание вершины помогает начать построение и понять, какое крайнее значение принимает функция.

Ось симметрии параболы — прямая x = x₀, относительно которой точки графика расположены зеркально. Это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Если известна точка параболы с одной стороны от оси, симметричная ей точка находится на таком же расстоянии с другой стороны.

Параллельный перенос графика — его перемещение по плоскости без изменения формы. При таком переносе парабола не становится шире или уже и не меняет направление ветвей, если коэффициент a остаётся тем же. Это понятие позволяет строить новый график по уже известной параболе.

Как это устроено

Начнём с графика y = ax²: у него вершина находится в начале координат. В выражении y = a(x − x₀)² + y₀ вместо x подставлено x − x₀, поэтому прежнее значение функции достигается при x, увеличенном на x₀; график перемещается горизонтально. Добавление y₀ увеличивает все значения функции на одно и то же число, значит, график сдвигается вверх при y₀ > 0 и вниз при y₀ < 0. Форма параболы при этих переносах не меняется.

Чтобы найти вершину, достаточно заметить, что квадрат не может быть отрицательным и обращается в ноль при x − x₀ = 0. Отсюда x = x₀, а формула даёт y = y₀, значит, вершина имеет координаты (x₀; y₀). Для любого одинакового расстояния t от x₀ числа x₀ − t и x₀ + t дают одинаковый квадрат: (−t)² = t². Поэтому соответствующие точки имеют одинаковые значения y, а ось симметрии — x = x₀.

Знак a определяет, что происходит со значениями функции при удалении от вершины. Если a > 0, произведение a(x − x₀)² неотрицательно, поэтому значения y не меньше y₀ и ветви направлены вверх. Если a < 0, это произведение неположительно, значения не больше y₀, а ветви направлены вниз. Так знак коэффициента помогает определить, будет ли в вершине минимум или максимум.

Модуль коэффициента a показывает, насколько быстро меняется значение функции при отходе от оси симметрии. При одинаковом расстоянии от вершины больший |a| даёт больший по модулю результат для слагаемого a(x − x₀)². Поэтому точки сильнее удаляются от вершины по вертикали, и парабола выглядит более узкой. При меньшем |a| изменение y слабее, так что ветви расположены дальше от оси и парабола шире.

Построение удобно начинать с вершины: отметь (x₀; y₀) и проведи через неё вертикальную ось x = x₀. Затем определи направление ветвей по знаку a и выбери несколько значений x справа и слева от x₀ на одинаковом расстоянии. Подставь их в формулу: симметричные значения x дадут одинаковые y, поэтому точки можно проверить парами. Отметь точки и проведи через них плавную параболу, не забывая, что она должна быть симметрична относительно своей оси.

Как параметры функции влияют на график

Сначала по знаку a определи направление ветвей, затем по |a| оцени ширину. Координаты x₀ и y₀ показывают, где расположена вершина, а вместе с ней и ось симметрии. Используй эти сведения как план построения, а не как замену проверке точек.

Разбор задач

Построить график функции y = (x − 2)² + 1

Здесь коэффициент a равен 1, а скобка записана в виде x − x₀, поэтому x₀ = 2; добавленное число даёт y₀ = 1. Сравним формулу с общей записью y = a(x − x₀)² + y₀. После этого расположим вершину и ось, а точки выберем симметрично относительно оси.

1. Вершина имеет координаты (2; 1), ось симметрии задаётся уравнением x = 2.
2. Так как a = 1 > 0, ветви направлены вверх. Возьмём x = 1 и x = 3: в обоих случаях y = 2, поэтому отметим точки (1; 2) и (3; 2).
3. Для проверки возьмём x = 0 и x = 4: получаем y = 5. Отметим симметричную пару (0; 5), (4; 5) и плавно соединим точки параболой.

Ответ: вершина (2; 1), ось симметрии x = 2, ветви направлены вверх; график строится через указанные симметричные точки.

Построить график функции y = −2(x + 1)² + 3 и указать её наибольшее значение

Чтобы определить вершину, перепишем скобку как x − (−1): значит, x₀ = −1, а y₀ = 3. Отрицательное значение a означает, что парабола раскрывается вниз, поэтому вершина будет её верхней точкой. Модуль коэффициента равен 2, и такая парабола уже, чем y = x².

1. Отметим вершину (−1; 3) и проведём ось симметрии x = −1.
2. Выберем точки на расстоянии 1 от оси: при x = 0 и x = −2 квадрат в скобках равен 1, поэтому y = −2 + 3 = 1. Получаем точки (0; 1) и (−2; 1).
3. Так как ветви направлены вниз, значения после вершины уменьшаются. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: вершина (−1; 3), ось x = −1, ветви направлены вниз, наибольшее значение функции равно 3.

Найти формулу параболы, если вершина (1; −2), а график проходит через точку (3; 6)

Вершина сразу задаёт x₀ = 1 и y₀ = −2, поэтому неизвестным остаётся только коэффициент a. Подставим координаты точки графика: её абсцисса заменит x, а ордината — y. Если найденный коэффициент при повторной подстановке даёт исходную ординату 6, формула составлена верно.

1. Запишем функцию в виде y = a(x − 1)² − 2.
2. Подставим точку (3; 6): 6 = a(3 − 1)² − 2. Тогда 6 = 4a − 2, откуда 4a = 8 и a = 2.
3. Запишем формулу y = 2(x − 1)² − 2. Проверка: при x = 3 получаем y = 2 · 4 − 2 = 6, как и требуется.

Ответ: y = 2(x − 1)² − 2.

Типичные ошибки

Иногда вершину записывают как (−x₀; y₀), ориентируясь на знак перед x₀ в скобках. Ошибка возникает из-за того, что знак внутри скобок принимают за координату, хотя для вершины нужно приравнять x − x₀ к нулю. Проверь себя: уравнение x − x₀ = 0 даёт x = x₀, а не −x₀.

График y = (x − 2)² могут ошибочно сдвинуть влево на 2. Причина в том, что знак в скобках читают как направление сдвига, не проверяя, где квадрат обращается в ноль. Подставь x = 2: значение квадрата равно нулю, значит, вершина находится справа от начала координат, а не слева.

При a < 0 иногда оставляют ветви направленными вверх, будто знак меняет только числа в формуле. На самом деле отрицательное умножение меняет знак всего значения квадрата и отражает параболу относительно горизонтальной оси. Проверка проста: возьми x, отличное от x₀, — тогда y будет меньше y₀, значит, график опускается от вершины и ветви направлены вниз.

Можно решить, что увеличение |a| расширяет параболу, потому что график сильнее меняется. Но при том же расстоянии от оси большое |a| увеличивает вертикальное отклонение, а точки уходят дальше от вершины вверх или вниз, и парабола становится уже. Сравни две функции при одном и том же x − x₀: большее по модулю значение a даёт более удалённую по вертикали точку.

Связь с другими темами

Для работы с параболой нужны навыки построения графика y = x² и понимание того, как умножение функции на число меняет график. Координатная плоскость помогает отмечать вершину и симметричные точки, а формула квадрата разности нужна для вычислений. Умение читать графики пригодится, чтобы видеть, где функция достигает крайних значений и какие значения принимает. Эти преобразования также используют при построении парабол и графическом решении квадратных уравнений.

Что запомнить

• График функции y = a(x − x₀)² + y₀ — парабола.
• Вершина параболы имеет координаты (x₀; y₀).
• Ось симметрии параболы задаётся уравнением x = x₀.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Чем больше |a|, тем уже парабола.
• Параметры x₀ и y₀ задают сдвиг графика по горизонтали и вертикали.