6.2. График функции у = kx

Определения и обозначения

Функцией вида y = kx называют правило, по которому каждому значению x соответствует значение y, равное произведению x на постоянное число k. Например, при k = 3 числу x = 2 соответствует y = 6. Такая запись позволяет вычислять значения одной величины по значениям другой. Буква k обозначает одно и то же число во всей формуле.

Число k в формуле y = kx называют коэффициентом пропорциональности. Оно определяет, как меняется y при изменении x: знак k связан с направлением графика, а модуль — с крутизной его наклона. Например, коэффициенты 2 и −2 задают одинаковую крутизну, но разное направление. Поэтому при чтении формулы нужно учитывать и знак, и величину k.

График функции — это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному равенству. Для y = kx точка (x; y) принадлежит графику, если при подстановке её координат получается верное равенство y = kx. Так формула связывается с точками на чертеже. По графику можно увидеть, как соотносятся значения x и y.

При k ≠ 0 зависимость y = kx называют прямой пропорциональностью. Это название подчёркивает, что y получается умножением x на одно и то же ненулевое число: если x увеличить в несколько раз, y увеличится во столько же раз. Например, при удвоении x значение y тоже удваивается. Условие k ≠ 0 отделяет прямую пропорциональность от случая y = 0.

Как это устроено

Чтобы построить график y = kx, сначала выбирают удобные значения x, а затем для каждого вычисляют y умножением на k. Полученные пары записывают как координаты точек и отмечают на плоскости. Двух точек достаточно, потому что через любые две различные точки проходит единственная прямая. На практике одной точкой часто сразу берут начало координат, а вторую находят по формуле.

При x = 0 формула даёт y = k · 0 = 0, поэтому точка (0; 0) подходит для любого значения k. Это не случайное совпадение: именно наличие нулевого множителя приводит к нулевому результату. Отсюда следует, что все графики функций такого вида проходят через одну и ту же точку. При построении её удобно отмечать первой, чтобы проверить положение будущей прямой.

Все точки, удовлетворяющие равенству y = kx, лежат на одной прямой. Действительно, если x изменяется на одно и то же число, то y каждый раз изменяется на k, умноженное на это число. Отношение изменения y к изменению x остаётся постоянным, поэтому точки не изгибаются, а выстраиваются вдоль прямой. Достаточно провести линию через найденные точки, продолжив её в обе стороны.

Знак k объясняет направление графика. Если k > 0, то при увеличении x увеличивается и y, поэтому прямая поднимается слева направо; если k < 0, увеличение x приводит к уменьшению y, и прямая опускается. Модуль коэффициента отвечает за то, насколько быстро меняется y: при большем |k| одинаковое изменение x даёт большее изменение y. Поэтому прямая с большим модулем коэффициента наклонена круче.

При k = 0 произведение kx равно нулю при любом x, и формула принимает вид y = 0. Значит, каждой точке графика соответствует нулевая координата y, а все такие точки образуют ось Ox. График в этом случае существует, но не является наклонной прямой. Прямой пропорциональностью обычно называют только зависимость с k ≠ 0, поэтому нулевой случай рассматривают отдельно.

Как коэффициент k определяет график y = kx

Сначала найдите строку, соответствующую коэффициенту, и по его знаку определите направление прямой. Затем, если нужно сравнить наклоны, сравните модули коэффициентов: большему модулю соответствует более крутая прямая. При любом из этих случаев проверьте, что график проходит через начало координат.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x, выбрав удобные значения x.

В формуле коэффициент k = 2, поэтому каждое значение y вдвое больше соответствующего x. Для построения возьмём x = 0 и x = 1: эти значения дают простые координаты. Вычислим y и отметим полученные точки на координатной плоскости. Поскольку график — прямая, проведём линию через обе точки.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 = 0, значит, первая точка — (0; 0).
2. При x = 1 получаем y = 2 · 1 = 2, значит, вторая точка — (1; 2).
3. Отмечаем обе точки и проводим через них прямую.

Можно проверить построение ещё одним значением, например x = −1: тогда y = −2, и точка (−1; −2) тоже должна лежать на этой прямой. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в вычислениях или разметке осей. Ответ: график функции y = 2x — прямая через точки (0; 0) и (1; 2).

По графику прямой, проходящей через начало координат и точку (2; −6), определить формулу функции.

Так как прямая проходит через начало координат, её можно записать в виде y = kx. Неизвестен только коэффициент k, поэтому подставим в формулу координаты известной точки. Координата x равна 2, а координата y равна −6. Найдя k, получим формулу всей прямой.

1. Подставляем x = 2 и y = −6 в равенство y = kx: −6 = 2k.
2. Делим обе части равенства на 2: k = −3.
3. Подставляем найденный коэффициент в формулу: y = −3x.

Знак минус согласуется с расположением прямой: она убывает слева направо. Проверим результат: при x = 2 формула даёт y = −3 · 2 = −6, то есть исходную точку. Ответ: y = −3x.

Сравнить графики y = −3x и y = ½ x: указать, какой из них убывает и какой наклонён круче.

В первой формуле k = −3, а во второй k = ½. Сначала сравним знаки: коэффициент первой функции отрицательный, второй — положительный. Значит, одна прямая убывает, а другая возрастает. Для сравнения крутизны отдельно сравним модули коэффициентов.

1. Для y = −3x коэффициент k = −3 < 0, поэтому график убывает слева направо.
2. Для y = ½ x коэффициент k = ½ > 0, поэтому график возрастает слева направо.
3. Сравниваем модули: |−3| = 3, а |½| = ½; так как 3 > ½, график y = −3x круче.

Знак коэффициента отвечает за направление, а модуль — за крутизну, поэтому эти признаки нельзя смешивать. Ответ: y = −3x убывает, y = ½ x возрастает; круче наклонён график y = −3x.

Типичные ошибки

При построении иногда не отмечают точку (0; 0), хотя она удовлетворяет формуле при любом k. Её могут не заметить, если сразу начинают вычисления с других значений x. Проверьте себя подстановкой: при x = 0 правая часть равна k · 0 = 0. Поэтому начало координат должно лежать на каждой прямой y = kx.

Отрицательный k иногда ошибочно связывают с расположением графика только ниже оси Ox. На самом деле прямая проходит через начало координат: при отрицательных x значение y положительно, а при положительных x — отрицательно. Ошибка возникает, если рассмотреть только одну точку или только положительные значения x. Проверка двумя значениями разных знаков покажет точки во II и IV четвертях.

Сравнивая наклон прямых, можно смотреть только на числа k и забывать об их модулях. Но знак показывает направление, а крутизна зависит от абсолютной величины коэффициента. Например, коэффициент −3 по модулю больше, чем ½, поэтому соответствующая прямая круче. Перед сравнением наклона запишите |k| для каждого графика.

Иногда считают, что при k = 0 графика нет, потому что формула перестаёт содержать x. Однако y = 0 — полноценное уравнение функции: при любом x значение y равно нулю. Ошибка появляется из-за того, что ожидают наклонную прямую. Подставьте несколько значений x: все точки окажутся на оси Ox, которая и является графиком.

Связь с другими темами

Для работы с функцией y = kx нужно уметь подставлять числа в формулу, составлять таблицу значений и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают перейти от записи к графику и проверить построение. Формула показывает, какие координаты подходят точкам прямой. А график наглядно показывает зависимость между x и y.

Тема связывает координаты точек с уравнением прямой и готовит к изучению линейной функции y = kx + b. В новой формуле появляется слагаемое b, поэтому график уже не обязательно проходит через начало координат. Сначала полезно уверенно распознавать роль k в функции y = kx. Тогда будет проще понять, что меняется при добавлении b.

Что запомнить

• Функция y = kx задаёт зависимость, в которой y равно произведению k и x.
• График функции y = kx — прямая.
• График всегда проходит через начало координат.
• При k > 0 прямая возрастает, при k < 0 — убывает.
• Чем больше |k|, тем круче наклон графика.
• При k = 0 график совпадает с осью Ox.