10. График функции у = kx

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — зависимость, задаваемая формулой y = kx, где отношение y к x постоянно, если x ≠ 0. Число k не меняется при выборе разных значений x. Такое правило помогает быстро находить y по известному x.

Коэффициент пропорциональности k — число, показывающее, во сколько раз изменяется y при изменении x в один раз. Например, в формуле y = 3x значение y в три раза больше x. По коэффициенту можно судить о направлении и крутизне графика.

График функции y = kx — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству y = kx. Каждая точка (x; y) на таком графике получается подстановкой x в формулу. По графику можно находить значения функции и видеть её изменение.

Коэффициент наклона прямой — значение k, определяющее направление и крутизну графика. Знак k показывает, поднимается или опускается прямая при движении вправо. Чем больше |k|, тем сильнее она наклонена к оси x.

Как это устроено

Чтобы построить график, выбирают несколько значений x и для каждого вычисляют y = kx. Получаются пары чисел (x; y), то есть координаты точек. Если аккуратно отметить их на координатной плоскости, можно увидеть общую линию и провести через точки прямую.

График получается прямой линией, потому что при одинаковом изменении x значение y изменяется всегда в одно и то же число раз: на величину k. Например, при увеличении x на 1 значение y изменяется на k. Кроме того, при x = 0 всегда y = 0, поэтому прямая обязательно проходит через начало координат.

Знак коэффициента определяет направление прямой. Если k > 0, то при увеличении x произведение kx увеличивается, поэтому функция возрастает слева направо. Если k < 0, то при увеличении x произведение становится меньше, и функция убывает.

Крутизна зависит от модуля коэффициента, то есть от расстояния числа k от нуля. При переходе на единицу вправо значение y изменяется на k, поэтому большое |k| даёт резкий наклон. При k = 0 произведение 0 · x равно нулю при любом x, так что функция становится y = 0, а её график совпадает с осью x.

Знак k также подсказывает, где расположены точки графика. При k > 0 числа x и y имеют одинаковые знаки: точки находятся в первой и третьей четвертях, кроме начала координат. При k < 0 знаки противоположны, поэтому график расположен во второй и четвёртой четвертях.

Свойства графика функции y = kx в зависимости от значения k

Сначала найдите знак k и определите направление прямой. Затем сравните модули коэффициентов, если нужно оценить крутизну. Последнюю строку используйте, чтобы понять, какие значения может принимать y.

Разбор задач

Задача 1

Условие: постройте график функции y = 2x, составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2. Нужно получить координаты точек и соединить их прямой. Коэффициент 2 заранее подсказывает, что прямая будет возрастать.

1. Для каждого значения x умножим его на 2: при x = −2 получаем y = −4, при x = −1 — y = −2. При x = 0, 1, 2 получаем соответственно y = 0, 2, 4.
2. Составим таблицу: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: −4, −2, 0, 2, 4. Значит, нужно отметить точки (−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4).
3. Проведём через отмеченные точки прямую. Она проходит через начало координат и поднимается слева направо, потому что k = 2 > 0.

Ответ: график — прямая y = 2x, проходящая через точки (−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4).

Задача 2

Условие: не строя график полностью, определите, возрастает или убывает функция y = −3x, и укажите координатные четверти. Достаточно исследовать знак коэффициента и связь знаков x и y. Полную таблицу значений составлять необязательно.

1. В формуле коэффициент k = −3, то есть k < 0. Поэтому функция убывает при движении слева направо.
2. При отрицательном k числа x и y имеют противоположные знаки. Если x > 0, то y < 0, а если x < 0, то y > 0.
3. Значит, график проходит через вторую и четвёртую координатные четверти, а также через начало координат.

Ответ: функция убывает; график расположен во второй и четвёртой четвертях и проходит через начало координат.

Задача 3

Условие: определите коэффициент k функции y = kx, если её график проходит через точку A(4; −6), и постройте график. Координаты точки должны удовлетворять формуле функции. После нахождения k достаточно использовать начало координат и ещё одну удобную точку.

1. Подставим координаты A в формулу: −6 = k · 4. Так как x ≠ 0, разделим обе части на 4 и получим k = −6/4 = −3/2.
2. Функция имеет вид y = −3/2x. Для построения возьмём точку (0; 0), а также точку A(4; −6), которая уже дана в условии.
3. Отметим эти точки и проведём через них прямую. Она будет убывать, потому что коэффициент −3/2 отрицателен.

Ответ: k = −3/2; график функции y = −3/2x проходит через начало координат и точку A(4; −6).

Типичные ошибки

Иногда графиком считают только несколько отмеченных точек. Это происходит потому, что таблица видна лучше, чем продолжение линии. Проверьте себя: после нанесения точек проведите через них прямую, если они относятся к функции y = kx.

При составлении таблицы можно забыть умножить каждое x именно на k или перепутать знак результата. Такая ошибка появляется при невнимательной подстановке в формулу. Для проверки пересчитайте хотя бы одну пару и убедитесь, что y = kx.

Некоторые считают, что отрицательный коэффициент делает график возрастающим. Причина — смешение знака числа с направлением чтения графика. Двигайтесь по оси x слева направо: при k < 0 прямая идёт вниз и функция убывает.

Ещё одна ошибка — провести прямую рядом с началом координат, но не через него. Это обычно случается, если построение начинают с произвольных точек. Подставьте x = 0 в формулу: результат y = 0 обязан дать точку (0; 0).

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны навыки работы с координатной плоскостью, составления таблиц и вычисления значений выражений. Без них трудно правильно получить координаты точек и нанести их на оси. Повторите эти действия, если при построении возникают ошибки.

Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции. У функции y = kx нет свободного слагаемого, поэтому её график обязательно проходит через начало координат. Сравнение этих формул помогает понять, какую роль играет каждый коэффициент.

Графики y = kx пригодятся при изучении систем уравнений и неравенств. По пересечению графиков можно находить решения, а свойства прямых помогают проверять результат. Эти идеи используются и при работе с более сложными функциями.

Что запомнить

• Функция y = kx задаёт прямую пропорциональность.
• График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 график возрастает.
• При k < 0 график убывает.
• Чем больше |k|, тем круче прямая.
• При k = 0 график совпадает с осью x.
• Для построения графика достаточно найти две точки, одна из которых — начало координат.