9. Пропорциональные переменные

Определения и обозначения

Пропорциональные переменные — это переменные x и y, связанные формулой y = kx, где k — постоянное число. Переменная может принимать разные значения, а k при этом остаётся одним и тем же. Такая запись показывает правило, по которому каждому значению x соответствует значение y.

Прямая пропорциональность — зависимость, при которой отношение y/x для ненулевых x постоянно. Иными словами, результат деления y на x не зависит от выбранной пары значений. Это позволяет быстро проверить по таблице, является ли зависимость пропорциональной.

Коэффициент пропорциональности — число k в формуле y = kx. Он равен отношению y/x и показывает, во сколько раз значение y связано со значением x с учётом знака. Кроме того, коэффициент определяет наклон прямой на графике.

График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. Начало координат имеет координаты (0; 0), и эта точка подходит формуле y = kx. По графику можно увидеть направление изменения переменных и сравнить крутизну разных зависимостей.

Как это устроено

Пусть для ненулевых значений x отношение y/x постоянно и равно одному числу k. Тогда y/x = k, а после умножения обеих частей на x получаем y = kx. Число k не меняется при изменении переменных именно потому, что оно задано как постоянное отношение, а не вычисляется заново по случайному правилу.

Из формулы y = kx видно, что при замене x на nx значение y станет k(nx) = n(kx). Поэтому y изменится в n раз, если n положительно; при уменьшении x в n раз y также уменьшится в n раз. Такой одинаковый масштаб изменения и называют свойством прямой пропорциональности.

Для каждого значения x формула y = kx задаёт точку с координатами (x; kx). Такие точки располагаются на одной прямой, потому что при одинаковом изменении x значение y изменяется на одну и ту же величину k, умноженную на это изменение. При x = 0 получаем y = 0, поэтому прямая обязательно проходит через начало координат.

Знак k определяет, в одну или в разные стороны меняются переменные. Если k > 0, то положительному x соответствует положительное y, а при увеличении x растёт и y. Если k < 0, знаки x и y противоположны: увеличение x вызывает уменьшение y, поэтому прямая направлена вниз.

Чтобы найти коэффициент по двум известным связанным значениям, достаточно вычислить k = y/x, если x ≠ 0. Затем найденное число подставляют в y = kx и получают формулу зависимости. Например, при x = 4 и y = 10 имеем k = 10/4 = 2,5, значит, формула имеет вид y = 2,5x.

Свойства пропорциональных переменных

В таблице собраны признаки, по которым можно распознать прямую пропорциональность. Сначала найдите формулу или вычислите отношение y/x, а затем проверьте остальные свойства. Знак коэффициента помогает понять направление графика.

Если известна таблица значений, полезно проверить второй столбец через первый. Совпадение отношений и наличие нулевой точки подтверждают, что перед нами зависимость вида y = kx.

Разбор задач

Задача 1

Проверьте, являются ли числа x = 3 и y = 12 значениями пропорциональных переменных, и найдите коэффициент пропорциональности. Одной пары достаточно, чтобы найти возможное значение k. Затем его можно записать в формулу зависимости.

1. Вычислим отношение: k = y/x = 12/3 = 4.
2. Полученное число постоянно для этой пары, поэтому значения согласуются с формулой y = 4x.
3. Коэффициент пропорциональности равен 4.

Ответ: да, значения могут быть пропорциональными; k = 4, формула — y = 4x. Для полной проверки таблицы нужно было бы убедиться, что такое же отношение получается для всех её пар.

Задача 2

Зависимость задана таблицей: x: 2, 5, 8; y: 6, 15, 24. Определите формулу и найдите y при x = 12. Сначала проверим, одинаково ли меняется отношение между соответствующими значениями. Затем используем найденный коэффициент для нового значения x.

1. Находим отношения: 6/2 = 3, 15/5 = 3, 24/8 = 3. Они одинаковы, значит, зависимость прямая пропорциональная и k = 3.
2. Записываем формулу: y = 3x.
3. Подставляем x = 12: y = 3 · 12 = 36.

Ответ: формула зависимости — y = 3x; при x = 12 значение y равно 36. Проверка всех трёх пар нужна, потому что одного совпавшего отношения недостаточно для всей таблицы.

Задача 3

Стоимость ткани прямо пропорциональна её длине. За 2,5 м заплатили 900 рублей; найдём стоимость 4 м и опишем график зависимости. При прямой пропорциональности коэффициентом будет цена одного метра. Обозначим длину ткани через x, а стоимость — через y.

1. Находим цену одного метра: k = 900/2,5 = 360 рублей.
2. Формула стоимости: y = 360x.
3. Для 4 м получаем y = 360 · 4 = 1440 рублей.

Ответ: 4 м стоят 1440 рублей, зависимость имеет вид y = 360x. Её график — прямая через начало координат, расположенная в первой четверти для положительных длины и стоимости.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда любую формулу y = kx + b называют пропорциональностью. Это происходит из-за сходства с линейной функцией, но свободный член b нарушает связь y = kx; проверьте, что его нет.

Ошибка 2. Коэффициент находят как x/y вместо y/x. Тогда получается обратное число, поэтому перед вычислением вспомните формулу y = kx и выразите из неё k.

Ошибка 3. Проверяют только одну пару значений в таблице. Одна пара позволяет подобрать k, но не доказывает постоянство отношения; разделите y на x во всех строках с ненулевым x.

Ошибка 4. Считают коэффициент обязательно положительным. На самом деле k может быть отрицательным, поэтому учитывайте знак результата и направление изменения переменных.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны отношения, пропорции, деление и умение отмечать точки на координатной плоскости. Пропорциональность встречается в задачах на стоимость, скорость, расход, масштаб и проценты. Позже эта тема поможет понять линейную функцию, а построение графика опирается на составление таблицы значений.

Что запомнить

• Пропорциональные переменные связаны формулой y = kx.
• Коэффициент пропорциональности k постоянен.
• Для ненулевого x коэффициент находят по формуле k = y/x.
• Если одна переменная изменяется в несколько раз, другая изменяется во столько же раз.
• График прямой пропорциональности проходит через начало координат.
• При k > 0 переменные изменяются одинаково, при k < 0 — противоположно.
• Чем больше по модулю коэффициент k, тем круче наклон графика.