§ 4. Функция у = кх

Определения и обозначения

Функция y = kx — зависимость, при которой каждому значению x соответствует значение y, равное произведению x на постоянное число k. Иначе говоря, правило вычисления всегда одно: умножить x на k. Оно позволяет по заданному x найти соответствующее значение y.

Коэффициент k — постоянное число в формуле y = kx. Он показывает, во сколько раз значение y связано со значением x, и влияет на наклон прямой. По знаку k можно определить, возрастает функция или убывает.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле y = kx. Например, точка (2; 6) принадлежит графику, если при x = 2 формула даёт y = 6. График помогает увидеть зависимость и находить значения по координатам.

Прямая пропорциональность — зависимость вида y = kx, при которой отношение y к x постоянно и равно k при x ≠ 0. Например, если x удвоить, то при неизменном k значение y тоже удвоится. Это понятие нужно, чтобы распознавать связанные величины и описывать их общей формулой.

Как это устроено

Формула y = kx задаёт единый способ вычисления: для любого выбранного x нужно умножить его на одно и то же число k. Например, при k = 3 и x = 2 получаем y = 6, а при x = 4 — y = 12. Если x = 0, произведение равно нулю при любом k, поэтому значение функции всегда y = 0. Так формула задаёт не отдельные пары чисел, а целое правило для всех допустимых x.

Таблицу значений составляют так: выбирают несколько значений x и для каждого вычисляют kx. Например, для функции y = 2x при x = −1 получаем y = −2, а при x = 2 — y = 4. Каждую пару записывают как координаты точки: (−1; −2) и (2; 4). Таблица удобна тем, что показывает вычисления и даёт точки, которые можно отметить на координатной плоскости.

График получается прямой, потому что изменения y связаны с изменениями x одним и тем же правилом. Если увеличить x на одно и то же число, например на 1, то y каждый раз изменится на k: это следует из равенства k(x + 1) = kx + k. Поэтому точки не изгибаются и располагаются на одной прямой. Чтобы провести её, достаточно двух найденных точек.

При x = 0 получаем y = 0, поэтому график обязательно проходит через начало координат. Коэффициент k показывает, насколько изменится y, если x увеличить на 1: новое значение y будет больше или меньше на k. Если k положителен, при движении слева направо y растёт; если k отрицателен, y уменьшается. При k = 0 любое значение x даёт y = 0, и график становится осью x.

Свойства функции y = kx

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи знак коэффициента k, а затем найди подходящий столбец. В нём можно проверить, как выглядит график и какие значения принимает функция. При k = 0 отдельно обрати внимание, что y всегда равен нулю.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x.

Для построения графика нужны координаты точек, удовлетворяющих формуле, а затем прямая через них. Удобно выбрать x = 0, потому что при этом сразу получаем начало координат. Ещё одно значение выберем так, чтобы вычисления были простыми. Проверим результат подстановкой в исходную формулу.

1. Составим таблицу: при x = 0 получаем y = 2 · 0 = 0, при x = 1 получаем y = 2 · 1 = 2.
2. Запишем точки: (0; 0) и (1; 2). Отметим их на координатной плоскости.
3. Проведём через обе точки прямую и продолжим её в обе стороны. Она проходит через начало координат и поднимается слева направо, потому что коэффициент 2 положителен.

Ответ: график — прямая через точки (0; 0) и (1; 2).

Найдите значение функции y = −3x при x = 4 и значение x, при котором y = 12.

В первой части известен x, поэтому достаточно подставить его в формулу. Во второй части известен результат y, а неизвестным становится x. Значит, формулу нужно записать как уравнение и решить его. Подстановка найденного числа позволит проверить ответ.

1. Подставим x = 4: y = −3 · 4 = −12.
2. Чтобы найти x при y = 12, запишем −3x = 12.
3. Разделим обе части уравнения на −3: x = −4. Проверка: −3 · (−4) = 12.

Ответ: при x = 4 значение y равно −12; при y = 12 значение x равно −4.

График функции y = kx проходит через точку (−2; 6). Найдите k и вычислите значение функции при x = 5.

Точка графика означает, что её координаты подходят к формуле: вместо x можно поставить −2, а вместо y — 6. Получится уравнение, из которого найдём k. Затем используем найденный коэффициент в той же формуле и подставим x = 5. Такой порядок связывает координаты точки с правилом функции.

1. Подставим координаты точки: 6 = k · (−2).
2. Разделим обе части на −2: k = −3. Значит, формула функции — y = −3x.
3. Подставим x = 5: y = −3 · 5 = −15.
4. Проверим коэффициент: при x = −2 формула даёт −3 · (−2) = 6, как и указано в условии.

Ответ: k = −3; при x = 5 значение функции равно −15.

Типичные ошибки

Иногда считают, что график y = kx не проходит через начало координат. Ошибку допускают, если строят график только по выбранным значениям и забывают проверить x = 0. Подставь ноль в формулу: k · 0 = 0, значит, точка (0; 0) обязательно принадлежит графику. Это простая проверка для любого k.

Можно перепутать знак коэффициента с направлением наклона прямой. Обычно это происходит, когда не проверяют, как меняется y при увеличении x. При k > 0 график возрастает слева направо, а при k < 0 убывает. Проверь направление на двух точках: если x увеличился, сравни соответствующие значения y.

Ещё одна ошибка — отметить на плоскости только одну точку и попытаться провести по ней график. Через одну точку можно провести много прямых, поэтому по ней нельзя определить нужную. Для прямой y = kx возьми начало координат и вычисли хотя бы ещё одну точку. После построения проверь, что обе точки лежат на проведённой линии.

При поиске k по точке (x; y) иногда делят x на y вместо y на x. Путаница возникает из-за перестановки букв в формуле. Из равенства y = kx при x ≠ 0 следует k = y / x: нужно разделить координату y на координату x. Проверь результат умножением: найденное k вместе с x должно дать исходное y.

Связь с другими темами

Для работы с функцией y = kx нужно уметь подставлять числа в буквенное выражение, вычислять произведения и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают составить таблицу значений и построить график. Позже функция y = kx станет частью линейной функции y = kx + b: к произведению добавится число b. Она также пригодится в задачах на прямую пропорциональность и зависимость величин.

Что запомнить

• Функция задаётся формулой y = kx, где k — постоянное число.
• При x = 0 значение y равно 0.
• График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• При k = 0 график совпадает с осью x.