8. Таблица значений и график функции

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Например, правило y = 2x + 1 каждому выбранному x ставит в соответствие число 2x + 1. Это понятие помогает описывать закономерности, где результат однозначно зависит от исходного числа.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая x; её значения выбирают из области определения, то есть из всех значений, для которых правило имеет смысл. Например, если в формуле есть деление на x, ноль может оказаться недопустимым аргументом. Аргумент задаёт, для какого случая мы ищем результат.

Значение функции — результат зависимости при выбранном аргументе. Запись f(x) читают «эф от икс»: она означает значение функции f при аргументе x; часто его также обозначают y. Например, если f(x) = 2x + 1, то f(3) = 7. Эта запись позволяет отличать правило функции от полученного числа.

График функции — множество точек координатной плоскости, абсцисса и ордината каждой из которых связаны соотношением y = f(x). Абсцисса — горизонтальная координата, а ордината — вертикальная. Поэтому график наглядно показывает, какие значения функции соответствуют разным аргументам.

Как это устроено

Чтобы получить значение функции, выбранный аргумент подставляют вместо x в правило, а затем выполняют вычисления. Подстановка нужна потому, что формула описывает зависимость сразу для всех допустимых аргументов, а конкретный результат появляется только после выбора x. Например, при y = 2x + 1 и x = 3 получаем y = 2 · 3 + 1 = 7. Значит, значение функции при этом аргументе равно 7.

Для таблицы сначала выбирают несколько допустимых значений x, а затем для каждого отдельно находят f(x). Результаты записывают парами: значение аргумента и соответствующее ему значение функции. Выбор аргументов влияет на то, какие части зависимости будут видны, поэтому часто берут удобные числа, например −1, 0 и 1. Таблица упорядочивает вычисления и помогает не перепутать, к какому x относится каждый результат.

Каждая строка таблицы задаёт точку (x; f(x)), потому что координаты точки должны указать её положение по обеим осям. Значение x откладывают по горизонтали, а f(x) — по вертикали. Именно такой порядок координат связывает точку с правилом y = f(x): её ордината должна быть результатом для её абсциссы. Если поменять числа местами, получится другая точка, которая может не принадлежать графику.

Чтобы построить график по таблице, на координатной плоскости отмечают точки с координатами из каждой пары. Положение каждой точки проверяют по обеим осям: сначала находят x, затем на этой вертикали — нужное значение y. Точки соединяют плавно или прямыми отрезками лишь тогда, когда это соответствует виду функции и промежуточные значения допустимы. Иначе соединение может создать точки, которые графику не принадлежат.

Таблица обычно содержит только несколько выбранных аргументов, поэтому её точки показывают лишь часть графика. Между ними могут находиться другие точки, а правило может задавать значения и при x, не включённых в таблицу. Чтобы узнать пропущенное значение, снова подставляют нужный аргумент в формулу. Так, для y = 2x + 1 при x = 2 получаем y = 5, хотя x = 2 могло не быть в исходной таблице.

Переход от правила функции к её графику

Используйте строки таблицы по порядку: сначала выберите x, затем вычислите y и запишите пару координат. Повторите эти действия для нескольких аргументов, чтобы получить точки графика. Перед построением проверьте вычисления и порядок координат.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 2x + 1 составим таблицу значений при x = −1, 0, 1 и построим соответствующие точки. В каждом случае подставим аргумент в одно и то же правило. Важно сохранить порядок: сначала координата x, затем вычисленное y.

1. При x = −1 получаем y = 2 · (−1) + 1 = −1.
2. При x = 0 получаем y = 2 · 0 + 1 = 1.
3. При x = 1 получаем y = 2 · 1 + 1 = 3.
4. Записываем пары (−1; −1), (0; 1), (1; 3) и отмечаем их на координатной плоскости.

Ответ. Таблица задаёт точки (−1; −1), (0; 1), (1; 3). Они лежат на прямой y = 2x + 1, поэтому их можно соединить прямой линией. Проверка подстановкой подтверждает, что каждая точка удовлетворяет правилу функции.

Задача 2. Для функции y = x² составим таблицу при x = −2, −1, 0, 1, 2 и построим график по полученным точкам. Здесь каждый аргумент возводится в квадрат, поэтому отрицательное число нужно подставлять в скобках. Сравнение результатов также поможет заметить особенность правила.

1. При x = −2 имеем y = (−2)² = 4, а при x = −1 имеем y = (−1)² = 1.
2. При x = 0 получаем y = 0² = 0.
3. При x = 1 получаем y = 1² = 1, а при x = 2 — y = 2² = 4.
4. Отмечаем точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4).

Ответ. Значения функции по порядку равны 4, 1, 0, 1, 4. При противоположных аргументах значения совпадают, поскольку квадрат числа и квадрата противоположного числа равны. Точки располагают аккуратно; изображая график, учитывают, что правило y = x² задаёт кривую, а не ломаную из отдельных отрезков.

Задача 3. По графику функции требуется найти значение функции при заданном x, а затем — аргумент, при котором функция принимает заданное значение. Для первого вопроса известна абсцисса точки, для второго — её ордината. В обоих случаях нужно найти на графике точку с нужной координатой и прочитать вторую.

1. Чтобы найти значение при заданном x, отмечаем это число на горизонтальной оси.
2. Мысленно проводим от него вертикаль до графика и считываем ординату точки.
3. Чтобы найти аргумент при заданном значении функции, отмечаем это значение на вертикальной оси.
4. Находим точку графика с такой ординатой и считываем её абсциссу.

Ответ. При известном x читаем y, а при известном значении функции ищем x. Если горизонтальная линия заданного y пересекает график в нескольких точках, подходят все их абсциссы. Проверить чтение можно по координатам найденной точки: она должна лежать на графике.

Типичные ошибки

Иногда в паре координат меняют местами аргумент и значение функции. Это происходит, когда забывают, что x всегда откладывают по горизонтальной оси, а f(x) — по вертикальной. Проверка простая: подставьте первый элемент пары в формулу и убедитесь, что второй получился как результат. Например, при y = 2x + 1 точка (0; 1) подходит, а (1; 0) — нет.

При отрицательном аргументе можно забыть скобки и неверно вычислить степень: выражения −2² и (−2)² означают разное. Ошибку допускают, когда воспринимают знак минус отдельно от числа, которое возводят в квадрат. В подстановке заключайте отрицательное значение в скобки: (−2)² = 4. Для проверки вычислите квадрат числа словами: умножьте −2 на −2.

Несколько точек из таблицы иногда принимают за весь график. Так думают, потому что именно эти точки уже отмечены на плоскости, но таблица содержит лишь выбранные аргументы. По правилу функции можно находить значения и для других допустимых x, значит, соответствующие точки также могут принадлежать графику. Проверяйте себя вопросом: учтены ли все допустимые значения, а не только строки таблицы?

Точки иногда соединяют отрезками автоматически, не учитывая характер функции и допустимые аргументы. Между точками тогда могут появиться положения, которые не удовлетворяют правилу или вообще не разрешены. Например, наличие двух точек само по себе не доказывает, что весь отрезок между ними является графиком. Сверяйтесь с формулой и областью определения; если сведений недостаточно, не придумывайте соединение.

Связь с другими темами

Для работы с таблицами и графиками нужно знать координатную плоскость, оси и порядок записи координат точки. Также пригодится умение подставлять числа в буквенные выражения и вычислять их значения, в том числе при отрицательных аргументах. Эти навыки позволяют перейти от формулы к точкам без ошибок. Позже таблицы и графики помогут изучать линейную функцию, уравнения и наглядно сравнивать зависимости.

Что запомнить

• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Для каждого допустимого x функция задаёт единственное значение.
• В таблице каждой выбранной паре x и f(x) соответствует точка графика.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).
• По графику можно находить значения функции и аргументы.
• Несколько точек таблицы обычно не определяют график целиком.