7. Понятие функции

Определения и обозначения

Функция — это зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Например, правило «умножить число на 2» каждому выбранному числу ставит в соответствие один результат. Понятие функции помогает описывать ситуации, когда одна величина определяется другой.

Аргумент функции — независимая переменная, значение которой выбирают. Обычно аргумент обозначают буквой x. Он нужен, чтобы указать, от какого исходного значения зависит результат.

Значение функции — это значение зависимой переменной, соответствующее выбранному аргументу; его обозначают f(x). Например, f(3) — результат, который функция даёт при аргументе 3. Такая запись позволяет коротко назвать результат для конкретного входного значения.

Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента. К примеру, если правило требует делить на выражение x − 2, число 2 в область определения не входит. Знание области определения показывает, при каких аргументах функцию вообще можно вычислить.

Как это устроено

Представим, что цена одного карандаша известна, а нужно узнать стоимость нескольких карандашей. Если каждый стоит 5 рублей, то количество карандашей определяет стоимость: для n штук она равна 5n рублей. Изменение количества меняет стоимость, потому что правило умножения связывает эти величины. Такая ситуация наглядно показывает, зачем описывать зависимость переменных с помощью функции.

Правило функции можно представить как действие над выбранным числом. Например, для правила «умножить на 3 и вычесть 2» при x = 1 получаем 3 · 1 − 2 = 1, а при x = 4 — 3 · 4 − 2 = 10. В каждом случае результат определяется тем же правилом, поэтому одному аргументу не могут соответствовать два разных результата. Именно это условие отличает функцию от произвольного набора пар чисел.

Запись y = f(x) сообщает, что значение переменной y определяется аргументом x по правилу функции f. Буква x обозначает выбранное исходное значение, а f(x) — результат применения правила к этому значению; y равен этому результату. Поэтому при разных x значение функции может меняться. Если известно правило, найти y можно подстановкой выбранного аргумента.

Область определения находят, выясняя, какие значения аргумента разрешены. В задаче ограничение может задавать сама ситуация: число людей обычно берут целым и неотрицательным. В формуле проверяют, не приводит ли подстановка к невозможному действию: например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Поэтому для y = 1/(x − 2) исключают x = 2, а остальные значения допустимы.

Задать функцию можно формулой, таблицей или словесным правилом. Формула позволяет вычислять значения по выражению, таблица перечисляет некоторые пары аргументов и результатов, а словесное правило описывает действие словами. Например, таблица может показать, что при x = 0 значение равно 1, а при x = 2 значение равно 5. Способ записи меняется, но во всех случаях важно одно и то же соответствие: каждому допустимому аргументу назначен один результат.

Основные понятия о функции

Сначала найдите в таблице нужное понятие, затем прочитайте его смысл и обозначение. Например, запись f(4) означает значение функции при аргументе 4, а не отдельное умножение f на x. Если проверяете область определения, спросите себя, какие значения аргумента разрешены правилом.

Разбор задач

Задача 1. Для формулы y = 3x − 2 найдите y при x = 4 и укажите, какая переменная является аргументом. Чтобы получить значение функции, нужно заменить x заданным числом и выполнить действия по порядку. Сначала умножаем, затем вычитаем.

1. В формуле аргументом является x: именно его значение выбирают.
2. Подставим x = 4: y = 3 · 4 − 2.
3. Вычислим: y = 12 − 2 = 10.

Ответ: аргумент — x, при x = 4 значение y равно 10. Его также можно записать как f(4) = 10. Проверка состоит в повторной подстановке числа 4 в исходную формулу.

Задача 2. Функция задана таблицей: при x = −1, 0, 2 значения y равны 3, 1, 5. Найдите f(0) и область определения. Каждая пара в таблице связывает аргумент с соответствующим значением функции. Поэтому для ответа нужно прочитать пару, в которой аргумент равен нулю.

1. Находим в таблице x = 0; напротив него стоит y = 1.
2. Следовательно, f(0) = 1.
3. Перечисляем все аргументы, указанные в таблице: −1, 0 и 2.

Ответ: f(0) = 1, область определения — {−1, 0, 2}. Здесь область определения содержит только аргументы, перечисленные в таблице. Значения y = 3, 1, 5 в неё не записывают, потому что это результаты, а не аргументы.

Задача 3. Для функции y = 1/(x − 2) определите, при каких x она задана, и найдите значение при x = 3. Сначала выясним, когда формула имеет смысл: на ноль делить нельзя. Лишь после этого подставим значение аргумента и вычислим результат.

1. Знаменатель равен x − 2, поэтому требуется x − 2 ≠ 0.
2. Решаем это условие: x ≠ 2. Значит, область определения — все числа, кроме 2.
3. Подставляем x = 3: y = 1/(3 − 2) = 1.

Ответ: функция задана при всех x, кроме 2; при x = 3 её значение равно 1. Проверка области определения проста: при x = 2 знаменатель стал бы нулём. При x = 3 знаменатель равен единице, поэтому вычисление допустимо.

Типичные ошибки

Иногда считают, что одному значению функции может соответствовать только один аргумент. Это путают с главным условием функции: единственным должно быть значение результата для каждого аргумента. Например, при y = x² аргументы 2 и −2 дают одинаковое значение 4. Чтобы проверить себя, убедитесь, что выбранному x не приписывают два разных результата.

Другая ошибка — путать аргумент и значение функции. Аргумент x выбирают, а f(x) находят по правилу, но обозначения рядом могут казаться похожими. Например, в f(0) число 0 — аргумент, а результат вычисления — значение функции. Проверка: подставьте число вместо x и только после вычислений назовите полученный ответ.

В область определения иногда включают значения, при которых формула не имеет смысла. Так происходит, если перечисляют числа, не проверив ограничения, например забывают о знаменателе. Для дроби нужно приравнять знаменатель к нулю и исключить найденные значения аргумента. После этого проверьте подстановкой, что для оставшихся значений запрещённого деления не возникает.

Некоторые думают, что функция обязательно должна быть записана формулой. Это представление возникает из-за привычки вычислять выражения, но правило можно описать и другими способами. Функцию задают также таблицей или словами, если соответствие аргументов и результатов понятно. Проверка: выясните, можно ли по данному описанию определить единственное значение для каждого допустимого аргумента.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужно уметь подставлять числа вместо переменных и вычислять значения выражений. Например, чтобы найти f(4), заменяют x числом 4 и выполняют действия по правилу. Эти навыки помогают не только вычислить результат, но и проверить, имеет ли формула смысл при выбранном аргументе. Поэтому знакомые вычисления становятся основой изучения нового понятия.

Понятие функции понадобится при изучении графиков и линейной функции. График показывает, какие значения одной переменной соответствуют значениям другой, а формула помогает их вычислять. Функции также описывают зависимости между величинами в задачах. Чем лучше понятны аргумент, значение и область определения, тем легче читать такие записи и решать задачи.

Что запомнить

• Функция задаёт зависимость между переменными.
• Аргумент — независимая переменная.
• Значение функции обозначают f(x).
• Каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение функции.
• Область определения — множество допустимых значений аргумента.
• Функцию можно задать формулой, таблицей или словесно.