"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Функция описывает зависимость двух величин: каждому допустимому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой. Это понятие помогает записывать и исследовать, как одна величина меняется вместе с другой, например путь со временем или стоимость с количеством товара. Функцию задают словами, формулой, таблицей или графиком. Чтобы работать с ней, нужно различать аргумент и значение функции, уметь находить допустимые значения аргумента и понимать, какие пары чисел изображены на графике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Например, если по заданному количеству товара можно найти одну его стоимость, такая зависимость подходит под это определение. Понятие функции позволяет точно описывать, как связаны две величины.
Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её значение выбирают или задают, а затем по правилу находят соответствующий результат. Понимание, где аргумент, помогает правильно подставлять числа в формулу.
Значение функции — число, которое соответствует выбранному значению аргумента; его часто обозначают y или f(x). Например, f(2) означает результат действия правила функции при x = 2. Это обозначение позволяет коротко записывать и сравнивать результаты для разных аргументов.
Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Значение x, при котором формула теряет смысл, в это множество не включают. Область определения нужна, чтобы не использовать недопустимые аргументы.
Функцией называют не любую связь между величинами, а только такую, где одному значению аргумента отвечает один результат. Если при одном и том же x получаются сразу два разных значения y, правило не определяет единственный результат. Поэтому при проверке зависимости смотрят именно на соответствия от аргумента к значению функции, а не на то, сколько аргументов имеют один и тот же результат.
В записи y = f(x) буква f обозначает правило, по которому находят зависимую величину. Запись f(x) — не произведение букв f и x, а название значения функции при выбранном x. Например, если f(x) = 2x − 3, то f(4) = 2 · 4 − 3 = 5. Такая запись позволяет отделить само правило от конкретного результата.
Область определения по формуле находят, проверяя, при каких x вычисления можно выполнить. В частности, делить на ноль нельзя: для y = 1/x аргумент x = 0 запрещён, а остальные числа допустимы. Поэтому область определения здесь состоит из всех чисел, кроме нуля. Проверка смысла выражения не даёт случайно включить значение, при котором функция не существует.
Функцию можно описать словами, записать формулой, представить таблицей или показать графиком. Словесное описание объясняет правило словами, формула позволяет вычислять значения, а таблица наглядно перечисляет несколько пар аргумента и результата. График показывает расположение этих пар на плоскости и помогает увидеть, как меняются значения функции. Способ выбирают в зависимости от того, нужно ли объяснить правило, получить точный результат или проследить изменение величины.
Чтобы построить график, выбирают несколько допустимых значений x и для каждого вычисляют соответствующее значение функции. Полученные пары (x; f(x)) отмечают как точки на координатной плоскости: первая координата задаёт положение по горизонтали, вторая — по вертикали. Если правило задаёт непрерывно меняющиеся значения, отмеченные точки соединяют в соответствии с формой графика. Чем точнее выбраны значения и нанесены точки, тем надёжнее получается изображение зависимости.
| Способ | Как задаётся зависимость | Что можно узнать |
|---|---|---|
| Словесный | Правило описывается словами. | Смысл зависимости и способ получения результата. |
| Формулой | Связь записывается с помощью выражения, например y = 2x − 3. | Можно вычислять значение функции для допустимого аргумента. |
| Таблицей | Указываются пары значений аргумента и функции. | Видны конкретные соответствия, включённые в таблицу. |
| Графиком | Пары значений изображаются точками на координатной плоскости. | Можно увидеть, как меняются значения и где расположены пары. |
Сначала определите, какой способ задания перед вами, а затем выясните, какую информацию он даёт. По формуле обычно удобно вычислять, по таблице — быстро находить уже указанные пары, а по графику — оценивать изменение зависимости. Словесное описание помогает понять смысл правила.
Задача 1. Зависимость задана формулой y = 2x − 3. Найдите значение функции при x = 4. Здесь известен аргумент, поэтому нужно использовать его в формуле вместо x. После подстановки выполняем действия по порядку.
Ответ: значение функции при x = 4 равно 5. Проверка проста: если вместо x в исходной формуле поставить 4, действительно получится 5. Точка графика с таким аргументом имеет координаты (4; 5).
Задача 2. Для функции y = 12/x укажите область определения и найдите значение функции при x = −3. Сначала проверяем, при каких аргументах формула имеет смысл, а затем вычисляем значение для заданного аргумента. Поскольку x находится в знаменателе, запрещено только такое значение, которое обратило бы знаменатель в ноль.
Ответ: область определения — все числа, кроме 0; при x = −3 значение функции равно −4. Отрицательный аргумент допустим, потому что знаменатель −3 не равен нулю. Так мы отдельно проверили область определения и нашли нужное значение.
Задача 3. В таблице при x = −1, 0, 2 значения y равны 3, 1, −3. Определите, может ли таблица задавать функцию, и изобразите соответствующие точки. Для проверки смотрим, повторяется ли аргумент с разными результатами. Затем каждую пару значений записываем как координаты одной точки.
Ответ: таблица задаёт функцию; нужно отметить точки (−1; 3), (0; 1), (2; −3). Их не следует соединять без дополнительной информации о правиле зависимости. Каждая точка показывает только одну пару из таблицы.
Считать функцией любую зависимость — значит не проверять, единственен ли результат для каждого аргумента. Ошибку допускают, когда обращают внимание лишь на связь величин вообще. Проверьте каждое значение x: ему должно соответствовать ровно одно y.
Путать аргумент и значение функции — значит подставлять не ту переменную или неверно читать f(x). Обычно это происходит из-за того, что букву f принимают за отдельный множитель. Перед вычислением подпишите, что задано: x — аргумент, f(x) или y — результат.
Включать в область определения значение, при котором выражение не имеет смысла, — например, ноль для y = 1/x. Часто ограничение забывают после того, как нашли формулу. Подставьте сомнительное число и проверьте, можно ли выполнить все действия.
Считать любые отмеченные точки графиком функции — значит не проверять, не отвечают ли одному x разные y. Это случается, если судить только по внешнему виду линии. Проведите вертикальную прямую: если она пересекает изображение более чем в одной точке, это не график функции.
Для работы с функциями нужны координатная плоскость, умение находить координаты точки и правила вычисления числовых выражений. Эти знания помогают подставлять аргументы в формулу и изображать полученные пары. Понятия аргумента и области определения понадобятся при изучении линейной функции, построении графиков и решении уравнений графическим способом. Таблицы и графики также описывают зависимости из геометрии, физики и повседневных задач.
Чем аргумент отличается от значения функции?
Аргумент — это независимая переменная, обычно x: ей задают значение. Значение функции — результат, который получается для этого аргумента, его обозначают y или f(x).
Что означает запись f(3)?
Это значение функции f при аргументе x = 3. Чтобы его найти, нужно подставить 3 вместо x в правило, которым задана функция.
Как определить область определения функции по формуле?
Проверьте, при каких значениях аргумента все действия в формуле имеют смысл. Например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому для y = 12/x значение x = 0 исключают.
Можно ли задать функцию таблицей?
Да, в таблице указывают значения аргумента и соответствующие им значения функции. Чтобы таблица задавала функцию, каждому указанному значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции.
Как проверить, является ли изображённая линия графиком функции?
Проведите мысленно вертикальные прямые через область рисунка. Если какая-либо такая прямая пересекает линию более чем в одной точке, одному x соответствуют разные y, поэтому линия не является графиком функции.
§ 3. Функции и способы их задания
