"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Уравнение с двумя переменными связывает значения двух неизвестных, поэтому его решениями могут быть разные пары чисел. Система объединяет несколько таких уравнений и требует найти пару, которая подходит сразу ко всем. В теме важно научиться записывать и проверять пары, решать системы и видеть их графический смысл: решение системы соответствует точке пересечения графиков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с двумя переменными — это равенство, в котором есть две неизвестные, обычно обозначаемые x и y. Например, 3x + y = 7 или x + y = 5. Переменные могут принимать разные значения, поэтому важно выяснить, какие пары делают равенство верным.
Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, при подстановке которой равенство становится верным. Её записывают в порядке (x; y): первое число относится к x, второе — к y. Такая запись помогает не перепутать значения при проверке.
Система уравнений — несколько уравнений с общими переменными, которые нужно удовлетворить одновременно. Обычно их записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например: {x + y = 4; 2x − y = 2}. Скобка напоминает, что условия связаны и решать нужно их вместе.
Решение системы — пара значений, которая является решением каждого уравнения системы. Для одного уравнения достаточно проверить одно равенство, а для системы — все входящие в неё равенства. Поэтому пара может подходить отдельному уравнению, но не быть решением всей системы.
Одно уравнение с двумя переменными обычно задаёт множество решений, потому что значения переменных связаны одним условием. Если выбрать значение x, часто можно вычислить подходящее значение y. Например, в уравнении x + y = 5 при x = 2 получаем y = 3, а при x = 0 — y = 5. Каждая такая пара удовлетворяет тому же равенству.
Чтобы проверить пару, подставляют её числа вместо соответствующих переменных и выполняют действия. Например, для пары (2; 1) в выражении 3x + y = 7 вместо x берём 2, а вместо y — 1. Получаем 3 · 2 + 1 = 7, то есть верное равенство. Если выходит неверное равенство, пара не подходит.
В системе одного совпадения недостаточно: найденная пара должна выполнять сразу все условия. Поэтому каждое уравнение системы ограничивает возможные пары, а решение системы должно попасть в общий набор решений. Проверка только одного равенства может не заметить, что второе условие нарушено. Именно одновременное выполнение отличает решение системы.
График уравнения показывает на координатной плоскости все пары (x; y), которые ему подходят. Если нарисовать графики уравнений системы, их общие точки будут принадлежать обоим графикам. Значит, координаты каждой общей точки являются решением системы. Если графики пересекаются в одной точке, система имеет одно решение.
Систему можно решать подбором, если подходящие числа легко заметить, или алгебраическими преобразованиями. Например, можно выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение. Так задача сводится к уравнению с одной переменной, а затем найденное значение помогает вычислить вторую. В конце пару проверяют в исходных равенствах, чтобы убедиться, что преобразования не привели к ошибке.
| Характеристика | Уравнение с двумя переменными | Система уравнений |
|---|---|---|
| Что требуется найти | Пару значений, подходящую одному равенству | Пару значений, подходящую всем уравнениям системы |
| Условие, которому должна удовлетворять пара | Равенство с двумя переменными | Каждое равенство, записанное в системе |
| Как проверить пару | Подставить числа в уравнение и проверить равенство | Подставить числа в каждое уравнение системы |
| Графический смысл решения | Точка на графике уравнения | Общая точка графиков уравнений |
| Сколько решений может быть | Одно, несколько или бесконечно много | Ни одного, одно, несколько или бесконечно много |
Сначала определите, нужно ли выполнить одно условие или несколько: от этого зависит проверка пары. Затем используйте графический смысл, чтобы представить решения как точки на плоскости. По таблице также видно, почему число решений системы зависит от того, пересекаются ли её графики.
Проверим, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + y = 7. В записи пары первое число относится к x, а второе — к y. Поэтому подставляем x = 2 и y = 1, не меняя их местами.
Ответ: да, пара (2; 1) является решением уравнения. Проверка сработала, потому что после подстановки равенство оказалось верным.
Найдём несколько решений уравнения x + y = 5. Удобно самостоятельно выбрать значения x, а y вычислить из равенства: y = 5 − x. Такой способ сразу строит подходящие пары, но каждую из них полезно проверить подстановкой.
Ответ: например, (0; 5), (1; 4), (2; 3). Это не все возможные решения: можно выбрать и другие значения x.
Решим систему x + y = 4, 2x − y = 2. В первом уравнении y прибавляется, а во втором вычитается, поэтому при сложении уравнений y исключится. После нахождения x подставим его в одно из исходных уравнений и проверим оба условия.
Ответ: (2; 2). Оба равенства верны, значит, найденная пара действительно решает систему.
Можно ошибочно считать решением любую пару чисел, записанную рядом с уравнением. Но подходящей она становится только после подстановки, если равенство верно. Чтобы проверить себя, вычислите обе части уравнения и сравните их: при несовпадении пара не подходит.
При решении системы иногда проверяют пару только в одном уравнении. Так можно не заметить, что второе условие нарушено, хотя для системы нужны оба условия сразу. Подставьте найденные значения в каждое исходное уравнение и отдельно убедитесь, что каждое равенство верно.
Ещё одна ошибка — перепутать порядок чисел в паре (x; y). Первое значение подставляют вместо x, второе — вместо y; при перестановке может получиться уже другая пара. Запишите рядом с числами, какой переменной они соответствуют, или сразу выполните проверку в исходном уравнении.
При сложении или вычитании уравнений важно учитывать знаки всех слагаемых. Например, y и −y при сложении сокращаются, а при ошибке со знаком может измениться результат. Перед вычислениями перепишите выражения в скобках и проверьте, что действие применено ко всем членам обеих частей.
Для работы с уравнениями нужно уметь подставлять числа в выражения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами и решать линейные уравнения. Эти навыки понадобятся и при проверке пары, и при преобразовании системы. Повторите их, если вычисления пока вызывают затруднения.
Графический смысл решений опирается на координатную плоскость: координаты точки записывают парой, а её положение находят по значениям x и y. Позже системы пригодятся при решении текстовых задач, когда неизвестные связаны несколькими условиями. Они также помогают изучать графики линейных функций и находить точки их пересечения.
Почему у уравнения с двумя переменными может быть много решений?
Можно выбрать разные значения одной переменной и подобрать значения другой так, чтобы равенство сохранилось. Например, уравнению x + y = 5 подходят пары (0; 5), (1; 4) и (2; 3).
Как быстро проверить, подходит ли заданная пара чисел?
Первое число подставьте вместо x, второе — вместо y. Если после вычислений получается верное равенство, пара подходит; иначе она не является решением.
Чем решение уравнения отличается от решения системы?
Для одного уравнения достаточно, чтобы пара удовлетворяла этому равенству. Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению, входящему в неё.
Что означает решение системы на графике?
Это координаты точки, которая принадлежит графикам всех уравнений системы. Для двух графиков такая точка обычно является точкой их пересечения.
Зачем подставлять найденную пару в исходные уравнения?
Проверка показывает, не закралась ли ошибка при преобразованиях и вычислениях. В системе нужно подставить пару в каждое исходное уравнение.
6. Уравнения с двумя переменными и их системы
