5. Решение уравнений

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство, в котором есть переменная, например x + 4 = 9. Нужно найти такие значения переменной, при которых левая и правая части равны. Уравнения помогают находить неизвестные числа в вычислениях и задачах.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, 3 — корень уравнения x + 2 = 5, потому что 3 + 2 = 5. Понятие корня позволяет проверить, подходит ли найденное число.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Иногда подходит одно число, иногда — несколько или любое число, а иногда не подходит ни одно. Поэтому недостаточно найти какое-то значение: нужно определить все возможные корни.

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, уравнения x + 3 = 7 и x = 4 равносильны: оба имеют только корень 4. При решении переходят к более простым равносильным уравнениям, чтобы не потерять и не добавить корни.

Как это устроено

Решение начинают с поиска преобразований, которые упрощают уравнение и при этом сохраняют его корни. Например, можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые: это привычные действия с выражениями. Но каждый шаг нужно выполнять так, чтобы исходные и полученные значения переменной совпадали.

Если прибавить к обеим частям равенства одно и то же число, равенство сохранится: одинаковая прибавка не изменит разность между частями. Например, из x − 5 = 8 можно получить x = 13, прибавив 5 и слева, и справа. Корень остаётся тем же, потому что оба уравнения выполняются при x = 13.

Перенос слагаемого через знак равенства — это сокращённая запись прибавления противоположного слагаемого к обеим частям. Из x − 5 = 8 перенос −5 вправо превращает его в +5: получается x = 8 + 5. Знак меняется именно потому, что вместо −5 прибавляют противоположное число, то есть 5.

Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство, а деление допустимо, если это число не равно нулю. Например, из 3x = 12 можно разделить обе части на 3 и получить x = 4. Если делить на выражение с переменной, сначала нужно выяснить, не обращается ли оно в ноль: деление на ноль невозможно, а исключение этого случая может убрать корень.

После упрощения стараются получить равенство, из которого легко определить переменную, например 2x = 10. Тогда обе части делят на 2 и находят x = 5. Подстановка этого значения в исходное уравнение проверяет не только вычисление, но и то, что при преобразованиях не была допущена ошибка.

Преобразования уравнения при решении

Перед преобразованием проверь, что именно делается с обеими частями и соблюдено ли необходимое условие. Таблица помогает вспомнить, почему разрешено выбранное действие. Особенно внимательно проверяй деление: делитель не должен быть нулём.

Разбор задач

Уравнение 3x − 5 = 10

Нужно оставить слагаемое с x отдельно, а затем определить саму переменную. Сначала уберём −5 слева, прибавив 5 к обеим частям. После этого разделим обе части на коэффициент при x — число 3.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 = 10 + 5, значит 3x = 15.
2. Разделим обе части на 3: 3x : 3 = 15 : 3, значит x = 5.
3. Проверим в исходном уравнении: 3 · 5 − 5 = 15 − 5 = 10.

Получили верное равенство, поэтому найденное значение подходит. Ответ: x = 5.

Уравнение 2(x − 3) = 4x + 6

Переменная встречается в обеих частях, поэтому сначала раскроем скобки. Затем соберём слагаемые с x слева, а числа — справа. Такой порядок помогает не перепутать знаки и увидеть, какое действие нужно выполнить последним.

1. Раскроем скобки: 2x − 6 = 4x + 6.
2. Перенесём 4x влево, а −6 вправо, меняя знаки: 2x − 4x = 6 + 6.
3. Приведём подобные слагаемые: −2x = 12. Разделим обе части на −2 и получим x = −6.
4. Проверим: 2(−6 − 3) = −18, а 4 · (−6) + 6 = −18.

Левая и правая части при x = −6 равны, значит, корень найден верно. Ответ: x = −6.

Уравнение (x − 2)/3 + 1 = (2x + 1)/6

В уравнении есть дроби со знаменателями 3 и 6. Чтобы избавиться от них, умножим обе части на общий знаменатель 6; это ненулевое число, поэтому преобразование сохраняет корни. После упрощения сравним полученные части.

1. Умножим обе части на 6: 2(x − 2) + 6 = 2x + 1.
2. Раскроем скобки и упростим: 2x − 4 + 6 = 2x + 1, значит 2x + 2 = 2x + 1.
3. Вычтем 2x из обеих частей: 2 = 1. Это неверное равенство, поэтому подходящего значения x нет.

При преобразованиях деления на выражение с переменной не было: мы умножали на 6, а 6 не равно нулю. Ответ: корней нет.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого иногда оставляют его знак прежним. Так происходит, если забыть, что перенос означает прибавление противоположного слагаемого к обеим частям. Проверь себя обратным действием: например, из x − 5 = 8 должно получиться x = 8 + 5, а подстановка корня должна подтвердить исходное равенство.

Умножать или делить только одну часть уравнения нельзя: после такого действия равенство может измениться, а вместе с ним — и множество корней. Ошибка часто возникает, когда действие выполняют как с отдельным выражением, не учитывая знак равенства. Перед вычислением запиши действие для обеих частей, а затем проверь найденное значение в исходном уравнении.

Деление обеих частей на выражение с переменной без проверки может привести к потере корня. Например, деление на x допустимо только при условии x ≠ 0, поэтому сначала нужно проверить, может ли корень быть нулём. Подстановка нуля в исходное уравнение помогает выяснить, нельзя ли исключить его из рассмотрения.

Преобразованное уравнение не всегда равносильно исходному, если при решении выполнили недопустимую операцию. Чаще всего причина — деление на ноль или на выражение, которое может обратиться в ноль. Записывай условие для каждого деления и проверяй найденные значения в исходном уравнении.

Связь с другими темами

Чтобы решать уравнения, нужно уверенно выполнять действия с рациональными числами, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают преобразовать уравнение к более простому виду, не допуская ошибок со знаками. Если вычисления и упрощение выражений уже знакомы, можно сосредоточиться на сохранении корней.

Уравнения помогают составлять математические модели текстовых задач: неизвестное обозначают переменной, а условие задачи записывают как равенство. Решение уравнений также понадобится при изучении систем уравнений, где нужно учитывать сразу несколько равенств. Поэтому умение обосновывать каждое преобразование пригодится и в следующих темах.

Что запомнить

• Корень уравнения — значение переменной, превращающее равенство в верное.
• Решение уравнения должно сохранять его множество корней.
• К обеим частям можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число.
• Обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
• При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется.
• Найденный корень полезно проверить подстановкой в исходное уравнение.