"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Текстовую задачу решают не угадыванием, а переводом её условий на язык математики. Для этого выделяют известные и неизвестные величины, обозначают неизвестную переменной и записывают связи между величинами в виде выражений или уравнения. Такая запись называется математической моделью. Она помогает найти ответ алгебраическими способами, а проверка по смыслу условия показывает, подходит ли найденное значение к реальной ситуации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — задача, в которой условие и вопрос описаны словами. В ней говорится о величинах и о том, как они связаны: например, сколько предметов в двух коробках вместе. Это определение помогает увидеть за словами математические отношения, которые можно записать и использовать при решении.
Математическая модель текстовой задачи — запись её условия и вопроса с помощью математических выражений, уравнений или других математических объектов. Например, общее количество можно представить суммой двух выражений. Модель нужна, чтобы заменить словесное описание точной записью и применить к задаче известные математические способы.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обозначают переменной, обычно буквой x, потому что заранее неизвестное число удобно временно представить символом. Если пояснить, что именно обозначает x, становится понятнее, как записывать остальные величины через него.
Решение текстовой задачи — последовательность действий от выбора модели до ответа, проверенного по условию. Сначала задачу переводят на математический язык, затем решают полученное уравнение и рассматривают результат в исходной ситуации. Такое понимание не позволяет принять вычисленный корень за ответ, не выяснив, отвечает ли он на вопрос задачи.
Сначала нужно понять, о каких величинах говорится, что уже известно и что требуется найти. Без этого легко перепутать данные или принять за неизвестную величину не то, о чём спрашивают. Прочитай условие внимательно и попробуй своими словами назвать известные числа, искомую величину и отношения между ними. Так словесная история превращается в понятную схему.
После анализа неизвестную величину обозначают переменной, а другие величины при необходимости выражают через неё. Это удобно, потому что вместо нескольких неизвестных появляются записи, связанные с одной выбранной переменной. Например, если в одной коробке на 8 карандашей больше, чем в другой, то при x карандашах в меньшей в большей будет x + 8. Такая запись сохраняет именно ту связь, которая дана в условии.
Затем условие переводят на математический язык: выбирают выражения и уравнение, которые отражают важные отношения между величинами. Если известно общее количество карандашей, нужно связать сумму в двух коробках с этим количеством. Каждое слагаемое должно обозначать число карандашей в своей коробке, а правая часть — их общее число. Проверка смысла каждой части записи помогает не составить уравнение механически.
Когда модель составлена, уравнение решают алгебраическими способами. Но найденное значение сначала является лишь математическим результатом: нужно вернуться к вопросу задачи и понять, какая величина вычислена. Например, корень может показывать число предметов в меньшей коробке, а в вопросе требуется количество в каждой. Поэтому после решения уравнения при необходимости находят и остальные величины.
Завершающий шаг — проверка по смыслу условия. Она нужна, потому что уравнение может иметь корень, который математически допустим, но невозможен в описанной ситуации, например отрицательное число людей или предметов. Подставь результат в исходную зависимость и убедись, что условие выполняется. Только после этого сформулируй ответ на поставленный вопрос.
| Этап | Что сделать | Что получить |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные величины, неизвестное и связи между ними | Понятное условие задачи |
| Введение переменной | Обозначить неизвестную величину и указать, что она означает | Обозначение неизвестного |
| Составление модели | Записать зависимости и условие задачи с помощью уравнения или выражения | Математическая модель |
| Решение модели | Найти значение неизвестного математическими методами | Математическое решение |
| Проверка и ответ | Проверить значение по условию и сформулировать ответ | Ответ на вопрос задачи |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда понятно, что получилось на предыдущем. Если не удаётся составить уравнение, вернись к анализу и уточни, как связаны величины. В конце проверь не только вычисления, но и то, что ответ дан на вопрос задачи.
В одной коробке на 8 карандашей больше, чем в другой. Всего в коробках 30 карандашей. Нужно узнать, сколько карандашей в каждой коробке. Начнём с меньшего количества: тогда число карандашей в большей коробке выразится через него, а условие об общей сумме даст уравнение.
Ответ: в одной коробке 11 карандашей, в другой 19.
Велосипедист ехал 2 часа со скоростью x км/ч, затем ещё 1 час со скоростью на 3 км/ч больше. За весь путь он проехал 39 км. Нужно найти скорость на первом участке. Здесь неизвестны скорости, но известна связь расстояния со скоростью и временем: расстояние равно скорости, умноженной на время.
Ответ: скорость велосипедиста в первые 2 часа была 12 км/ч.
Из бака израсходовали 12 л воды, после чего осталось 40% первоначального количества. Требуется узнать, сколько литров воды было сначала. Обозначим начальное количество переменной: тогда остаток можно выразить и как разность, и как долю первоначального объёма. Приравнивание этих двух выражений и станет моделью.
Ответ: сначала в баке было 20 л воды.
Переменную обозначают, но не уточняют, что она означает. Тогда легко перепутать, относится ли x к меньшему или большему количеству и как выразить остальные величины. Такая ошибка возникает, когда ученик спешит сразу записать уравнение. Перед вычислениями проверь, можно ли по пояснению к x однозначно понять, какое число оно обозначает.
Уравнение составляют механически, не сохраняя связи между величинами. Например, разность вместо суммы может появиться из-за того, что отдельные слова замечены, а смысл условия не разобран. Чтобы этого избежать, сопоставь каждую часть записи с конкретной величиной или отношением из задачи. Полезно прочитать уравнение вслух и проверить, говорит ли оно то же, что условие.
Корень уравнения сразу записывают как ответ, не проверяя его по смыслу. Это случается потому, что после знакомого алгебраического решения кажется, будто работа закончена. Но отрицательное число предметов или неподходящая скорость не могут описывать ситуацию. Подставь корень в условие и проверь, допустимо ли значение и выполняются ли исходные связи.
В ответе указывают только число или забывают нужные единицы измерения. Иногда при этом отвечают не на тот вопрос: находят число в меньшей коробке, хотя требуется указать количество в каждой. Перед записью ответа ещё раз прочитай вопрос и назови величину вместе с единицей измерения. Например, пиши не просто 12, а 12 км/ч, если речь идёт о скорости.
Для построения модели нужны навыки обозначать неизвестное переменной, составлять выражения и решать линейные уравнения. При этом связи величин обычно знакомы из арифметики: стоимость зависит от цены и количества, а расстояние — от скорости и времени. Эти знания помогают переводить условие в уравнение, а не подбирать его наугад. Позже составление моделей пригодится при изучении систем уравнений, функций и практических задач.
Что называют математической моделью текстовой задачи?
Это запись условия и вопроса задачи с помощью математических выражений, уравнений или других математических объектов. Модель показывает связи между величинами, которые описаны словами.
Как выбрать величину, которую удобно обозначить переменной?
Обычно переменной обозначают то, что требуется найти. Удобно выбрать величину, через которую можно выразить остальные неизвестные, и сразу пояснить, что означает переменная.
Как понять, какое уравнение составить по условию?
Найдите в условии связь между величинами: например, сумму, разность или зависимость расстояния от скорости и времени. Запишите каждую часть этой связи через переменную и проверьте, соответствует ли уравнение словам задачи.
Почему найденный корень нужно проверять по смыслу задачи?
Корень может не подходить исходной ситуации: например, давать отрицательное число карандашей или величину, превышающую возможное количество. Проверка помогает убедиться, что значение отвечает и уравнению, и условию.
Можно ли составить для одной задачи несколько разных уравнений?
Да, можно выбрать разные неизвестные или записать одну и ту же связь разными способами. При верных преобразованиях такие уравнения приводят к ответу, который удовлетворяет условию задачи.
4. Математическая модель текстовой задачи
