"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Уравнение — это равенство с переменной, значение которой нужно найти. Найденное значение называют корнем: оно превращает уравнение в верное равенство. При решении уравнения выполняют одинаковые действия с обеими его частями, чтобы получить более простой вид и не изменить множество корней. Главные правила — аккуратно переносить слагаемые, не делить на ноль и проверять ответ подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, например 3x − 5 = 10. Числовое равенство состоит только из чисел: его истинность можно установить сразу. В уравнении нужно найти такие значения переменной, при которых равенство станет верным.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, для уравнения x + 4 = 9 корнем является x = 5. Это понятие помогает отличить подходящее значение от любого числа, которое можно подставить вместо переменной.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходит одно число, иногда несколько значений, а иногда ни одного. Поэтому запись одного найденного числа ещё не всегда означает полное решение.
Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Их внешний вид может быть разным, но решения совпадают. При решении стараются заменять исходное уравнение более простым равносильным уравнением.
Значение переменной можно подставить в обе части уравнения и выполнить вычисления. Если получаются одинаковые числа, равенство верно, значит, это значение является корнем. Если левая и правая части различаются, число корнем не является. Например, при x = 5 в равенстве x + 4 = 9 получаем 9 = 9.
Прибавление одного и того же выражения к обеим частям сохраняет корни, потому что равные числа после одинакового изменения остаются равными. Если A = B, то A + C = B + C для любого выражения C. Обратно, из A + C = B + C можно вычесть C и снова получить A = B. Поэтому такое преобразование не добавляет и не удаляет решения.
Умножение обеих частей на одно и то же число также сохраняет равенство: из A = B следует A · C = B · C. Если C не равно нулю, обратное действие — деление на C — возвращает исходное равенство. При C = 0 обратного восстановления нет: обе части превратятся в нули, и можно потерять сведения о корнях. Поэтому множитель или делитель должен быть ненулевым.
С помощью этих действий исходное уравнение постепенно упрощают. Сначала раскрывают скобки, затем переносят слагаемые с переменной в одну часть, а известные числа — в другую, после чего приводят подобные слагаемые. Каждый шаг должен быть равносильным, то есть сохранять все корни. В результате часто получают уравнение вида ax = b и находят x делением на a, если a ≠ 0.
После решения найденное значение подставляют в исходное уравнение, а не только в последний промежуточный вариант. Так проверяют сразу вычисления и правильность выполненных преобразований. Если обе части дают одно и то же число, корень найден верно. Несовпадение указывает, что нужно искать ошибку в знаках, скобках или арифметике.
| Преобразование | Что выполняют | Условие | Почему сохраняются корни |
|---|---|---|---|
| Прибавление выражения к обеим частям | К левой и правой частям прибавляют одно и то же выражение. | Выражение должно быть определено. | Одинаковое прибавление сохраняет равенство и допускает обратное вычитание. |
| Вычитание выражения из обеих частей | Из левой и правой частей вычитают одно и то же выражение. | Выражение должно быть определено. | Можно выполнить обратное прибавление и восстановить исходное равенство. |
| Умножение обеих частей на число | Левую и правую части умножают на один и тот же множитель. | Для обратимости множитель не должен быть равен нулю. | Равные числа после умножения остаются равными, а при ненулевом множителе действие обратимо. |
| Деление обеих частей на число | Левую и правую части делят на один и тот же делитель. | Делитель должен быть ненулевым. | Умножение на тот же ненулевой делитель возвращает исходное равенство. |
В таблице указано не только действие, но и условие, без которого оно может быть опасным. Перед делением или умножением проверьте, не равен ли соответствующий множитель нулю. На практике эти преобразования часто выполняют цепочкой, записывая новый равносильный шаг после каждого действия.
Нужно оставить слагаемое 3x отдельно, поэтому сначала уберём число −5. Для этого прибавим 5 к обеим частям, а затем разделим обе части на коэффициент 3. Каждое действие выполняется одинаково слева и справа.
Ответ: x = 5.
Сначала раскроем скобки, чтобы собрать все слагаемые с переменной. Затем перенесём переменные в левую часть, а числа — в правую, меняя знак при переходе. После этого останется простое линейное уравнение.
Ответ: x = 7.
Знаменатели 3 и 2 мешают сразу собрать слагаемые, поэтому умножим всё уравнение на их общий знаменатель 6. Умножение выполняется для каждого слагаемого в обеих частях. После сокращения дробей получится обычное уравнение.
Ответ: x = 4.
При переносе слагаемого в другую часть иногда оставляют его знак прежним. Это происходит потому, что перенос выглядит как простое перемещение, хотя на самом деле означает прибавление противоположного слагаемого к обеим частям. Проверьте себя обратным действием: после переноса мысленно прибавьте или вычтите это слагаемое.
Другая ошибка — умножить или разделить только одну часть уравнения. Тогда равенство уже не обязано сохраняться, и найденное значение может оказаться неверным. Сверяйте запись: каждое действие должно быть выполнено и слева, и справа от знака равенства.
Опасно делить обе части на выражение, которое может быть равно нулю. В таком случае деление способно удалить корень, соответствующий нулевому значению выражения. Сначала выясните, когда делитель равен нулю, и при необходимости рассмотрите этот случай отдельно.
Некоторые записывают первое найденное значение без проверки или принимают промежуточную строку за ответ. Причиной обычно становятся спешка и потеря знака при вычислениях. Подставьте результат в исходное уравнение и оформите ответ только после совпадения обеих частей.
До изучения уравнений нужно уверенно выполнять действия с рациональными числами: складывать, вычитать, умножать и делить их. Также понадобятся раскрытие скобок и упрощение выражений с подобными слагаемыми. Эти навыки позволяют сосредоточиться на логике преобразований, а не на отдельных вычислениях.
Уравнения помогают решать текстовые задачи, в которых неизвестную величину обозначают переменной и связывают известными условиями. Позже похожие приёмы используются при изучении систем уравнений. В системе нужно найти значения сразу нескольких переменных, удовлетворяющие нескольким равенствам.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Чтобы проверить число, его подставляют вместо переменной и выполняют вычисления в обеих частях.
Чем решение уравнения отличается от его корня?
Корень — одно конкретное значение переменной, подходящее для уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что подходящих значений нет.
Почему при переносе слагаемого меняют знак?
Перенос означает, что к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Поэтому положительное слагаемое превращается в отрицательное, а отрицательное — в положительное.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с переменной?
Можно только тогда, когда заранее известно, что это выражение не равно нулю. Если оно может обратиться в ноль, деление способно удалить корень, поэтому такой случай нужно рассматривать отдельно.
Зачем проверять корень подстановкой?
Проверка показывает, действительно ли найденное значение превращает исходное уравнение в верное равенство. Она помогает обнаружить ошибку в знаке, вычислениях или преобразованиях.
§ 2. Уравнения
