4.1. Функции и способы их задания

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Иными словами, правило не оставляет выбора между несколькими результатами для одного и того же входного значения. Это условие позволяет предсказуемо находить результат и отличает функцию от зависимости, в которой одному входу могут отвечать разные выходы.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x; значение функции записывают как f(x). Например, в записи f(2) число 2 — аргумент, а f(2) — соответствующий ему результат. Это обозначение помогает различать саму функцию, входное значение и полученное значение.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Например, если формула содержит дробь, значения, обращающие знаменатель в ноль, не входят в область определения. Зная её, можно понять, для каких x допустимо применять правило функции.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает при аргументах из области определения. Оно состоит из результатов вычисления, а не из входных x. Это понятие нужно, чтобы описывать, какие именно значения может принимать функция и сравнивать их с областью определения.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли соответствие функцией, проследи, что происходит с каждым допустимым аргументом. Если одному x поставлены в соответствие два разных значения y, однозначного правила нет, поэтому это не функция. Несколько разных аргументов, напротив, могут привести к одному и тому же значению: требование единственности относится к результату для каждого входа, а не к возможности восстановить вход по результату. Именно поэтому проверяют соответствие в направлении от аргумента к значению.

Область определения определяется не только внешним видом формулы, но и условиями, при которых она описывает задачу. Например, если x означает число билетов, в конкретной ситуации x может быть только целым неотрицательным числом, даже если формулу можно вычислить и при других числах. Для дроби исключают значения, при которых знаменатель равен нулю; для квадратного корня из выражения требуют, чтобы оно было неотрицательным. Если присутствуют оба ограничения, нужно выполнить их одновременно, а не выбрать одно из них.

При аналитическом способе правило записывают формулой, например y = 2x − 3. Подстановка x позволяет быстро вычислить соответствующее y, а также увидеть зависимость между переменными. Но формула сама по себе не означает, что допустимы все действительные числа: у дробей и корней есть ограничения, а условия задачи могут дополнительно сузить набор аргументов. Поэтому формулу читают вместе с областью, на которой функция задана.

Табличный способ показывает отдельные пары значений, например строки x и f(x). Он удобен, когда результаты измерений или вычислений известны только для конкретных аргументов, однако конечная таблица не сообщает автоматически, что происходит между ними. Графический способ представляет пары (x; f(x)) точками на координатной плоскости, поэтому по нему легче увидеть общий ход изменения функции и оценить её значения. Чтобы график задавал функцию, для каждого x на нём должна быть не более чем одна точка.

Словесное задание описывает правило словами: например, «к каждому числу прибавить три». Такое описание может быть понятнее формулы, если зависимость связана с реальной ситуацией, но его нужно трактовать точно. При любом способе задания требуется понимать, какие аргументы допустимы и какой единственный результат соответствует каждому из них. Если правило допускает несколько результатов для одного входа или не определяет их вовсе, описание функции неполно.

Способы задания функции

Сначала определи, какие пары аргумента и значения сообщает выбранный способ. Затем проверь, для каких x правило действует и не возникает ли нескольких результатов для одного аргумента. Таблица и график могут показывать только часть сведений, поэтому не приписывай им неуказанное продолжение.

Разбор задач

Задача 1. Определить, задаёт ли соответствие y = 2x − 3 функцию, и найти значения при x = 0 и x = 2. Здесь правило выражено формулой, поэтому нужно проверить, даёт ли оно один результат для каждого аргумента, а затем выполнить подстановку. Формула линейная и не содержит действий, ограничивающих допустимые действительные x.

1. Для любого выбранного x произведение 2x и разность 2x − 3 определены и дают единственное число. Следовательно, каждому действительному аргументу соответствует ровно одно значение.
2. Подставим x = 0: y = 2 · 0 − 3 = −3. Значит, f(0) = −3.
3. Подставим x = 2: y = 2 · 2 − 3 = 1. Значит, f(2) = 1.

Ответ: соответствие задаёт функцию; f(0) = −3, f(2) = 1.

Задача 2. Найти область определения функции y = √(x − 1)/(x − 3). В выражении есть квадратный корень и дробь, поэтому нужно проверить допустимость каждого действия. Итоговая область должна удовлетворять обоим ограничениям одновременно.

1. Для существования квадратного корня требуется x − 1 ≥ 0, откуда x ≥ 1.
2. Знаменатель не должен обращаться в ноль: x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3.
3. Объединяем условия. Все x от 1 и больше подходят, кроме x = 3; число 1 включено, поскольку подкоренное выражение равно нулю, а знаменатель не равен нулю.

Ответ: область определения — [1; 3) ∪ (3; +∞).

Задача 3. По таблице значений функции построить график и определить, является ли изображённое соответствие функцией. Конкретные значения таблицы могут быть разными, поэтому здесь важен общий способ проверки. Каждую строку таблицы нужно прочитать как пару координат, а не как отдельное число.

1. Возьми пары (x; f(x)) из таблицы и нанеси каждую на координатную плоскость: x откладывай по горизонтальной оси, f(x) — по вертикальной.
2. Проверь, не встречается ли один и тот же x с двумя разными значениями f(x). Если такое есть, соответствие не является функцией.
3. На графике выполни ту же проверку вертикальными прямыми: если хотя бы одна пересекает изображение в двух точках, при этом x получаются два разных y. Если пересечений больше одного нет, изображение проходит проверку на график функции.

Ответ: график строят по точкам (x; f(x)); соответствие является функцией, если каждому x соответствует не более одного y.

Типичные ошибки

Считать функцией любую зависимость — ошибка: зависимость может назначать одному аргументу несколько результатов. Обычно путают наличие связи с однозначностью этой связи. Проверь каждое значение x: для него должен находиться ровно один y.

Область определения и множество значений — разные множества: первая состоит из допустимых x, второе — из получаемых f(x). Их легко перепутать, потому что оба множества связаны с одной формулой. Для самопроверки спроси себя, что является входом, а что результатом.

Иногда полагают, что формула автоматически действует при всех действительных x. Это неверно, если в ней есть знаменатель, который может стать нулём, или квадратный корень с отрицательным подкоренным выражением. Подставь возможные x в отдельные части формулы и выпиши все запреты.

По конечной таблице или нескольким точкам нельзя без дополнительных сведений определить значения между ними. Ошибка возникает, когда точки мысленно соединяют выбранной линией и принимают её за единственно возможный график. Проверь себя: можно ли построить через те же точки другой график? Если да, данных недостаточно для однозначного восстановления функции.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны навыки вычисления числовых выражений, чтения формул с переменными и работы с координатной плоскостью. Область определения и множество значений понадобятся при изучении свойств функций и их графиков. Способы задания помогут описывать линейную, квадратичную, степенную и другие функции. Понимание соответствия между аргументом и результатом позволит переходить от формулы к таблице и графику.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Область определения состоит из допустимых значений аргумента.
• Множество значений состоит из значений функции.
• Функцию можно задавать формулой, таблицей, графиком или словесно.
• При поиске области определения проверяют все ограничения.