"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Целое рациональное уравнение — это уравнение, в котором обе части являются многочленами. Его приводят к виду P(x) = 0 и ищут все значения переменной, при которых многочлен обращается в ноль. Главный способ решения — разложить многочлен на множители и применить правило нулевого произведения. Для разложения используют общий множитель, группировку, формулы сокращённого умножения, а при повторяющемся выражении — замену переменной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое рациональное уравнение — это уравнение, в котором левая и правая части являются многочленами. Перенеся все слагаемые в одну часть и приведя подобные, его записывают в виде P(x) = 0, где P(x) — многочлен. Такая запись помогает сосредоточиться на поиске значений, при которых многочлен равен нулю.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение становится верным равенством. Корней может быть несколько, и они могут быть разными числами. Поэтому после решения нужно убедиться, что найдены все подходящие значения, а не только одно из них.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. При решении важно выбирать преобразования, которые сохраняют это множество, иначе можно потерять корни или получить лишние. Это особенно нужно помнить, когда обе части делят на выражение с переменной.
Разложение многочлена на множители — представление его в виде произведения нескольких выражений. Этот приём полезен, потому что для произведения, равного нулю, можно отдельно рассмотреть каждый множитель. Тогда поиск корней исходного уравнения сводится к решению более простых уравнений.
Сначала переносят все слагаемые в одну часть, меняя знак у каждого перенесённого слагаемого, а затем приводят подобные. Так уравнение превращается в P(x) = 0: теперь нужно найти нули одного многочлена, а не сравнивать две разные части. Этот шаг также помогает заметить общий множитель или подходящую формулу. Равносильность сохраняется, потому что к обеим частям прибавляют или из обеих частей вычитают одно и то же выражение.
Если многочлен удалось представить как произведение, например A(x)B(x), то уравнение принимает вид A(x)B(x) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому вместо исходного уравнения решают A(x) = 0 и B(x) = 0, а затем объединяют найденные корни. Нельзя приравнивать к нулю отдельные слагаемые: правило относится именно к множителям произведения.
Иногда множители не видны сразу, и тогда помогают общий множитель и группировка. Если каждый член содержит одно и то же выражение, его выносят за скобки, не меняя значения многочлена. При группировке слагаемые объединяют в удобные пары и выносят общий множитель в каждой паре. Если после этого внутри скобок появляется одинаковое выражение, его также можно вынести, получив произведение.
Когда в многочлене несколько раз повторяется одно и то же сложное выражение, его можно обозначить новой переменной. Например, если повторяется x² − 1, замена t = x² − 1 превратит уравнение в более простое уравнение относительно t. После его решения нельзя считать задачу законченной: каждое найденное значение t нужно подставить в равенство t = x² − 1. Так определяют все соответствующие значения x и отбрасывают невозможные.
Деление обеих частей на выражение с переменной требует особой осторожности. Если делитель равен нулю при некотором x, делить на него нельзя, и этот случай может содержать корень исходного уравнения. Поэтому сначала решают уравнение «делитель = 0» и отдельно проверяют найденные значения в исходном уравнении. Лишь затем рассматривают случай, когда делитель не равен нулю, и делят на него.
| Приём | Как распознать | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Вынесение общего множителя | Одинаковый множитель есть во всех слагаемых | Вынести его за скобки | Раскрыть скобки и проверить знаки |
| Группировка слагаемых | Слагаемые можно объединить в пары с общими множителями | Сгруппировать и вынести множители в группах | Получился ли общий множитель в скобках |
| Формулы сокращённого умножения | Видны разность квадратов, квадрат суммы или квадрат разности | Применить подходящую формулу | Совпадают ли знаки и слагаемые |
| Замена повторяющегося выражения новой переменной | Одинаковое выражение встречается несколько раз | Обозначить его новой переменной и решить упрощённое уравнение | Вернуться к x и найти все соответствующие корни |
Пользуйтесь таблицей как последовательностью подсказок: сначала осмотрите все слагаемые, затем ищите удобную группировку или формулу. Если одно выражение повторяется, подумайте о замене переменной. В любом случае проверьте разложение обратным раскрытием скобок.
Ответ: 2; 3.
Ответ: −2; −1; 1.
Ответ: −√5; −√2; √2; √5.
Нельзя приравнивать к нулю каждое слагаемое уравнения: правило нулевого произведения применяется только после того, как выражение записано как произведение, равное нулю. Эту ошибку допускают, путая сложение с умножением. Проверьте форму записи: должны быть множители, соединённые умножением. Затем приравнивайте к нулю каждый множитель, а не слагаемые.
После замены переменной иногда находят значения новой буквы и сразу записывают ответ. Но это ещё не значения исходной переменной: например, из t = 4 нужно вернуться к равенству x² − 1 = 4. Ошибка возникает, потому что решение упрощённого уравнения кажется завершённым. Проверьте себя, записав обратную подстановку для каждого найденного t и перечислив все подходящие x.
Деление на выражение с переменной может убрать корень, если это выражение обращается в ноль. Обычно так делят, желая быстрее упростить уравнение, но нулевой делитель не допускает такого преобразования. До деления найдите значения, при которых делитель равен нулю, и подставьте их в исходное уравнение. Если такие значения возможны, рассмотрите их отдельно.
При разложении на множители можно потерять слагаемое или ошибиться со знаком. Это часто происходит при группировке или при применении формулы сокращённого умножения. Чтобы проверить результат, раскройте скобки и сравните каждый полученный член с исходным многочленом. Если хотя бы один коэффициент или знак не совпадает, разложение нужно исправить.
Для решения понадобятся действия с многочленами, формулы сокращённого умножения и правило нулевого произведения. Разложение многочленов на множители затем используют при решении неравенств и изучении функций, заданных многочленами. Умение сохранять множество корней при преобразованиях пригодится и в дробно-рациональных уравнениях. Там особенно важно учитывать ограничения на переменную и не делить на выражение, которое может оказаться нулём.
С чего начать решение целого рационального уравнения?
Перенесите все слагаемые в одну часть и приведите подобные, чтобы получить P(x) = 0. Затем попробуйте разложить многочлен на множители и найдите нули каждого множителя.
Как понять, какой способ разложения многочлена выбрать?
Сначала проверьте, есть ли общий множитель у всех слагаемых или заметна формула сокращённого умножения. Если слагаемые удобно объединить в пары, попробуйте группировку; если повторяется выражение, может помочь замена переменной.
Почему произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю?
При умножении любого числа на ноль получается ноль. Поэтому произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю; верно и обратное.
Когда удобно вводить новую переменную?
Замена удобна, когда в уравнении несколько раз встречается одно и то же выражение, например x² − 1. Новая переменная позволяет решить уравнение проще, но после этого нужно найти соответствующие значения исходной переменной.
Почему нельзя просто разделить обе части уравнения на выражение с x?
Это выражение может быть равно нулю при одном из корней исходного уравнения. Деление на него исключит такой случай, поэтому сначала нужно проверить, когда делитель обращается в ноль, и рассмотреть эти значения отдельно.
3.7. Примеры решения целых рациональных уравнений
