"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Схема Горнера помогает быстро находить значение многочлена, не вычисляя отдельно степени числа. Коэффициенты многочлена последовательно умножают на выбранное число и складывают с очередным коэффициентом. Последнее полученное число равно значению многочлена, а при делении на x − c — остатку. Предыдущие числа задают коэффициенты частного. Чтобы вычисление было верным, коэффициенты записывают по убыванию степеней и не забывают ставить ноль на месте пропущенной степени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — выражение вида P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, где aₙ, …, a₀ — коэффициенты, а n — степень многочлена, если aₙ ≠ 0. Коэффициент при каждой степени показывает, с каким множителем эта степень входит в выражение. Знание порядка коэффициентов необходимо, чтобы правильно применить схему Горнера.
Значение многочлена при x = c — число P(c), которое получается после подстановки c вместо переменной во все слагаемые. Например, чтобы найти P(2), нужно заменить x на 2 и выполнить вычисления. Это нужно, когда требуется узнать результат работы выражения при конкретном значении переменной.
Схема Горнера — способ вычислить значение многочлена последовательными умножениями на выбранное число и сложениями коэффициентов. Она заменяет отдельное вычисление степеней более короткой цепочкой действий. Поэтому схема особенно удобна для многочленов высокой степени.
При делении на x − c частное Q(x) и остаток r — такие многочлены и число, что P(x) = (x − c)Q(x) + r. Остаток здесь является числом, потому что делитель имеет первую степень. Это представление помогает связать деление многочленов с вычислением значения P(c).
Сначала многочлен группируют так, чтобы вынести x за скобки в нескольких последовательных шагах: P(x) = (((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + …)x + a₀. Например, вместо отдельного поиска x², x³ и других степеней при подстановке c мы каждый раз умножаем уже полученное выражение на c. Это работает, потому что раскрытие скобок возвращает исходные слагаемые с теми же степенями и коэффициентами. Так вычисление заменяется последовательностью простых действий.
Эту цепочку удобно описывать числами bₖ: сначала bₙ = aₙ, затем bₖ = c·bₖ₊₁ + aₖ для k от n − 1 до 0. На каждом шаге предыдущий результат умножают на c и прибавляют следующий коэффициент. Такая запись точно повторяет вложенное выражение, поэтому после последнего шага получается b₀ = P(c). Рекуррентное правило удобно и для ручных вычислений, и для проверки каждого шага.
Коэффициенты нужно записывать в порядке убывания степеней: сначала при старшей степени, затем при следующей и так далее до свободного члена. Если, например, в многочлене нет слагаемого с x³, коэффициент при этой степени равен нулю. Его всё равно включают в список: иначе каждый следующий коэффициент окажется сдвинут на одну позицию. Тогда схема будет соответствовать уже другому многочлену и даст неправильный результат.
При делении P(x) на x − c схема начинает работать с тем же числом c. Первые результаты, кроме последнего, становятся коэффициентами частного Q(x) по убыванию степеней, а последнее число является остатком r. Это следует из последовательного деления многочлена на линейный двучлен: коэффициенты частного возникают из тех же шагов умножения и сложения. Поэтому схема одновременно вычисляет значение и выполняет деление.
Из равенства P(x) = (x − c)Q(x) + r следует, что при x = c первая часть справа становится нулём, а остаётся r. Значит, P(c) = r, и проверка значения совпадает с проверкой остатка от деления. Если остаток равен нулю, то P(x) делится на x − c без остатка. Это также означает, что c является корнем многочлена, то есть P(c) = 0.
| Что рассматривается | Как получить | Что означает результат |
|---|---|---|
| Запись коэффициентов | Выписать по убыванию степеней | Порядок для выполнения схемы |
| Пропущенная степень | Включить коэффициент 0 | Сохраняется соответствие степеням |
| Рекуррентный шаг | bₖ = c·bₖ₊₁ + aₖ | Новый результат вычисления |
| Последнее число | Завершить шаги до свободного члена | P(c) и остаток при делении на x − c |
| Предыдущие числа | Взять результаты до последнего | Коэффициенты частного |
| Делимость на x − c | Проверить последний результат | Ноль означает делимость без остатка |
Сначала определите c и выпишите полный список коэффициентов, включая нули для пропущенных степеней. Затем последовательно применяйте рекуррентный шаг. В конце отдельно истолкуйте результат: значение и остаток — последнее число, коэффициенты частного — предыдущие.
Вычислите P(2), если P(x) = 3x³ − 2x² + 4x − 5. Здесь степени идут подряд, поэтому список коэффициентов сразу записывается как 3, −2, 4, −5. Выполним схему, последовательно умножая результат на 2 и прибавляя очередной коэффициент.
Последнее число схемы и есть искомое значение, поэтому P(2) = 19. Такой порядок действий позволяет не вычислять отдельно 2² и 2³. Здесь промежуточные результаты нужны только для перехода к следующему шагу.
Вычислите P(−1), если P(x) = 2x⁴ + 3x² − x + 4. В записи нет члена с x³, поэтому перед вычислением обязательно добавляем его нулевой коэффициент. Получаем список 2, 0, 3, −1, 4; в схему подставляем −1.
Последнее число даёт P(−1) = 10. Нулевой коэффициент на втором шаге ничего не прибавляет, но сохраняет место, соответствующее x³. Если убрать его, все последующие действия будут относиться не к тем степеням.
Разделите P(x) = 2x³ − 3x² − 8x + 12 на x − 2 и проверьте результат схемой Горнера. Для делителя x − 2 выбираем c = 2, а коэффициенты многочлена выписываем как 2, −3, −8, 12. Последний результат даст остаток, а предыдущие — коэффициенты частного.
Следовательно, Q(x) = 2x² + x − 6, и P(x) = (x − 2)(2x² + x − 6). Нулевой остаток подтверждает делимость, а заодно показывает, что P(2) = 0. Полученное равенство можно проверить раскрытием скобок.
Первая ошибка — записывать коэффициенты не по убыванию степеней. Её допускают, когда переписывают слагаемые в порядке, удобном для чтения, не сверяя степени. Тогда каждый коэффициент участвует в шаге для другой степени. Перед расчётом проверьте, что список идёт от старшей степени до свободного члена.
Вторая ошибка — пропускать ноль для отсутствующей степени. Из-за этого коэффициенты сдвигаются, хотя сами записанные числа выглядят верно. Ошибка часто незаметна в длинном списке. Чтобы проверить себя, перечислите все степени подряд и поставьте напротив каждой её коэффициент, включая нулевой.
Третья ошибка — подставлять не то число при делении на x − c. Например, при делителе x + 3 иногда выбирают 3, хотя x + 3 = x − (−3), поэтому требуется c = −3. Путаница возникает из-за знака в записи делителя. Проверяйте выбранное число, представляя делитель именно как x − c.
Четвёртая ошибка — считать, что все числа схемы являются значением многочлена. На деле значение равно только последнему результату, а предшествующие результаты задают коэффициенты частного. Это смешивают, потому что все числа получены одинаковыми действиями. После схемы отметьте последний результат отдельно и сверяйте его с подстановкой в исходный многочлен.
Перед применением схемы нужно уметь подставлять число в многочлен, работать с его коэффициентами и выполнять действия с целыми числами. Схема связана с делением многочлена на линейный двучлен x − c и теоремой об остатке: они объясняют, почему последнее число равно остатку и значению P(c). Позже этот приём помогает искать корни многочлена, проверять делимость на линейный двучлен и раскладывать многочлены на множители.
Почему схема Горнера требует меньше вычислений, чем подстановка степеней?
При обычной подстановке приходится отдельно находить степени числа, например c² и c³. Схема Горнера использует предыдущий результат: его умножают на c и прибавляют следующий коэффициент. Так уменьшается число повторных вычислений.
Что делать, если в многочлене отсутствует один из членов?
Нужно записать нулевой коэффициент на месте отсутствующей степени. Например, для 2x⁴ + 3x² − x + 4 список коэффициентов будет 2, 0, 3, −1, 4. Ноль сохраняет правильное соответствие коэффициентов степеням.
Какое число нужно подставлять в схему при делении на x + 3?
Запишите x + 3 как x − (−3). Значит, в схему нужно подставить c = −3, а не 3.
Как по схеме Горнера понять, делится ли многочлен на x − c?
Посмотрите на последнее число в схеме: оно является остатком при делении на x − c. Если оно равно нулю, деление выполняется без остатка. Предыдущие числа при этом дают коэффициенты частного.
Почему последнее число схемы совпадает со значением многочлена?
При делении на x − c многочлен представляется как P(x) = (x − c)Q(x) + r. Подстановка x = c обнуляет слагаемое с множителем x − c, поэтому P(c) = r.
3.6. Нахождение значений многочленов: схема Горнера
