"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Если многочлен с целыми коэффициентами равен нулю при некотором числе, это число называют его корнем. Для целых и рациональных корней не приходится проверять все числа подряд: теорема о рациональных корнях связывает числитель корня со свободным членом, а знаменатель — со старшим коэффициентом. Поэтому можно составить конечный список кандидатов, проверить их и, найдя корень, разложить многочлен на множители и упростить дальнейший поиск.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен с целыми коэффициентами — это многочлен, в котором каждый коэффициент является целым числом. Например, 2x³ − 3x + 5 подходит под это определение. Коэффициент при наибольшей степени переменной называют старшим, а слагаемое без переменной — свободным членом. Эти два числа понадобятся, чтобы ограничить список возможных корней.
Целый корень многочлена — целое число, при подстановке которого многочлен принимает значение 0. Например, если f(2) = 0, то 2 — корень f(x). Проверка корня сводится к подстановке числа и вычислению значения выражения. Для многочленов с целыми коэффициентами можно заранее отобрать возможные целые корни по свободному члену.
Рациональный корень многочлена — рациональное число, при подстановке которого многочлен обращается в нуль. Рациональное число записывают в виде p/q, где p и q — целые числа, q ≠ 0; дробь перед применением правила сокращают. Такая запись помогает отдельно проверить числитель и знаменатель по коэффициентам многочлена. Если знаменатель равен 1, рациональный корень является целым.
Теорема о рациональных корнях ограничивает возможные рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Для несократимого корня p/q его числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Теорема не утверждает, что каждый такой кандидат действительно корень. Она нужна, чтобы заменить бесконечный поиск конечным списком и затем проверить его элементы.
При делении многочлена f(x) на двучлен x − a остаток равен f(a). Это следует из теоремы о делении многочленов: остаток при делении на линейный двучлен — число, а подстановка x = a обнуляет сам двучлен и оставляет это число. Если a — корень, то f(a) = 0, значит, остаток равен нулю и деление выполняется без остатка. При целых коэффициентах результат такого деления на x − a имеет целые коэффициенты, поэтому его свободный член целый; из равенства f(0) = (−a)g(0) следует, что a делит свободный член f(0).
Пусть рациональный корень записан как p/q в несократимом виде. Подставим его в многочлен степени n и умножим равенство f(p/q) = 0 на qⁿ, чтобы убрать знаменатели. В полученном равенстве все слагаемые, кроме содержащего pⁿ, делятся на p, поэтому p делит произведение старшего коэффициента на qⁿ. Так как p и q взаимно просты, p не может делить qⁿ и должен делить старший коэффициент; однако в классической формулировке условие на числитель — делимость свободного члена, а на знаменатель — делимость старшего коэффициента. Это видно и из уравнения после умножения: все слагаемые, кроме свободного члена, содержат p, значит, p делит свободный член; аналогично, q делит старший коэффициент.
Чтобы применить теорему, выписывают делители свободного члена и старшего коэффициента, а затем составляют дроби p/q. Например, при свободном члене 6 и старшем коэффициенте 2 числитель может быть ±1, ±2, ±3 или ±6, а знаменатель — 1 или 2. После исключения повторяющихся и несократимых записей получается конечный список кандидатов. Каждый кандидат проверяют подстановкой в f(x) или делением на x − a; только нулевой остаток подтверждает, что число действительно корень.
Если свободный член равен нулю, подстановка x = 0 сразу даёт f(0) = 0. Это означает, что ноль — корень, а многочлен можно представить как x, умноженный на другой многочлен. Поэтому поиск остальных корней начинают уже с этого множителя меньшей степени. Если многочлен приведённый, его старший коэффициент равен 1; знаменатель несократимого рационального корня должен делить 1 и потому равен 1, значит, рациональный корень обязательно целый.
Найденный корень a превращается в линейный множитель x − a, поскольку деление на него проходит без остатка. После деления исходный многочлен заменяют частным меньшей степени и снова ищут его корни, если это необходимо. Так задача о корнях многочлена третьей или большей степени постепенно сводится к задачам меньшей степени. Разложение на множители также позволяет увидеть все корни: каждый линейный множитель задаёт значение переменной, при котором произведение равно нулю.
| Что проверяем | Целый корень | Рациональный корень p/q в несократимом виде |
|---|---|---|
| Условие на свободный член | Корень делит свободный член. | Числитель p делит свободный член. |
| Условие на старший коэффициент | Знаменатель равен 1. | Знаменатель q делит старший коэффициент. |
| Как составить список кандидатов | Выписать целые делители свободного члена. | Составить дроби из делителей свободного и старшего коэффициентов. |
| Как подтвердить, что кандидат является корнем | Подставить число или разделить на x − a. | Подставить p/q или разделить на x − p/q. |
Сначала используйте условия на коэффициенты, чтобы получить кандидатов, а затем обязательно проверьте каждый из них. Для целого корня достаточно смотреть делители свободного члена, но для дробного нужно учесть и старший коэффициент. При нулевом свободном члене сперва выделите корень 0.
Ответ: целые корни −1, 2 и 3.
Ответ: рациональные корни −2, 3/2 и 2; f(x) = (x − 2)(2x − 3)(x + 2).
Ответ: рациональные корни 1, 2/3 и −5/2.
Ошибка — считать, что числитель и знаменатель рационального корня могут быть любыми числами. Теорема ограничивает их: числитель должен делить свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Такой неверный подход обычно возникает, когда правило запоминают только как «нужно подобрать дроби». Проверьте себя: для каждого кандидата отдельно укажите, из делителей какого коэффициента взяты числитель и знаменатель.
Нельзя применять правило к несокращённой дроби. Например, запись 2/4 задаёт то же число, что и 1/2, но числитель и знаменатель в теореме должны быть взаимно простыми. Иначе делимость может казаться подходящей или, наоборот, скрыть нужного кандидата. Перед составлением списка сократите дробь и проверьте, что у p и q нет общего делителя, кроме 1.
При поиске целого корня некоторые проверяют делители свободного члена и забывают про старший коэффициент, когда ищут все рациональные корни. Это приводит к тому, что дробные кандидаты не попадают в список, хотя многочлен может иметь нецелые рациональные корни. Для целых корней делителей свободного члена достаточно, но для рациональных обязательно учитывайте оба коэффициента. Сверьте список с формой p/q: числитель берётся из делителей свободного члена, знаменатель — из делителей старшего коэффициента.
Если свободный член равен нулю, не начинайте перебор обычных делителей и не пропускайте число 0. Подстановка x = 0 сразу обращает многочлен в нуль, потому что свободного члена нет. Иногда этот очевидный корень теряется, когда ученик механически записывает кандидатов по общей схеме. Сначала проверьте значение свободного члена, а при нуле вынесите x за скобки.
Для работы с корнями нужно уметь подставлять число в многочлен и находить целые делители числа. Также пригодится деление многочлена на линейный двучлен: оно подтверждает корень и помогает понизить степень. Тема продолжает изучение разложения многочленов на множители и решения уравнений высших степеней. Теорема о рациональных корнях особенно полезна, когда нужно разложить многочлен над рациональными числами.
Как найти все возможные рациональные корни многочлена?
Запишите кандидатов p/q, где p — делитель свободного члена, а q — делитель старшего коэффициента. Дроби нужно составить в несократимом виде, затем подставить кандидатов в многочлен или проверить деление на соответствующий линейный множитель.
Почему дробь рационального корня нужно сначала сократить?
Условия теоремы относятся именно к несократимой дроби p/q: тогда p и q не имеют общих делителей, и можно заключить, что p делит свободный член, а q — старший коэффициент. Для несокращённой записи эти выводы могут оказаться неверными.
Что делать, если свободный член многочлена равен нулю?
Тогда подстановка x = 0 сразу даёт значение многочлена 0, значит, ноль — его корень. Можно вынести x за скобки и искать остальные корни у оставшегося множителя.
Может ли многочлен с целыми коэффициентами иметь рациональный корень, не являющийся целым?
Да, если старший коэффициент не равен 1: например, у многочлена 2x − 1 корень ½. У приведённого многочлена, то есть многочлена со старшим коэффициентом 1, рациональный корень обязательно целый.
Как найденный корень помогает разложить многочлен на множители?
Если a — корень многочлена f(x), то f(x) делится на x − a без остатка. Значит, можно записать f(x) = (x − a)g(x), где степень g меньше, и искать оставшиеся корни уже у g(x).
3.5. Многочлены с целыми коэффициентами: целые и рациональные корни
