3.4. Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу

Определения и обозначения

Линейный двучлен вида x − a — многочлен первой степени, где a — заданное число. Именно это число нужно подставить вместо x при проверке делимости по теореме Безу. Двучлен ax + b при a ≠ 0 можно привести к виду x − c: ax + b = a(x − c), где c = −b/a. Поэтому деление на ax + b сводится к делению на x − c с учётом постоянного множителя a.

При делении многочлена f(x) на x − a получают частное q(x) и остаток r. Их связывает равенство f(x) = (x − a)q(x) + r, где r — число. Частное показывает, какая часть многочлена умножается на делитель, а остаток — что остаётся после деления. Такая запись позволяет проверить деление и связать остаток со значением многочлена.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена f(x) на x − a равен f(a). Чтобы найти его, не обязательно выполнять деление: достаточно вычислить значение многочлена при x = a. Это особенно удобно, когда нужно быстро проверить делимость или подобрать неизвестный коэффициент. Однако для нахождения частного одной подстановки недостаточно.

Число a называют корнем многочлена f(x), если f(a) = 0. По теореме Безу это равносильно тому, что при делении f(x) на x − a остаток равен нулю. Значит, многочлен делится на x − a без остатка, а сам двучлен является его множителем. Так понятие корня связывает вычисление значения многочлена с его разложением на множители.

Как это устроено

При делении с остатком степень остатка должна быть меньше степени делителя. У линейного двучлена x − a степень равна 1, а единственный многочлен степени меньше 1 — постоянный. Поэтому остаток здесь не может содержать x и записывается числом r. Это свойство и делает возможной простую связь остатка со значением многочлена в одной точке.

Начнём с равенства f(x) = (x − a)q(x) + r, верного при любом x. Подставим x = a: множитель x − a станет равен нулю, и слагаемое (x − a)q(x) исчезнет. Останется f(a) = r. Значит, значение многочлена в точке a сразу сообщает остаток, даже если частное пока неизвестно.

Если f(a) = 0, то и остаток r равен нулю, а равенство принимает вид f(x) = (x − a)q(x). Это и означает, что f(x) делится на x − a без остатка. Обратное тоже верно: если деление точное, в записи нет ненулевого остатка, поэтому f(a) = 0. Так теорема Безу даёт точный критерий делимости, а не только способ проверить отдельный пример.

Чтобы найти частное, можно делить многочлены столбиком: подобрать первый член частного, умножить его на делитель и вычесть полученное произведение. Затем повторить действия с оставшейся частью, пока её степень не станет меньше степени делителя. Коэффициенты частного определяются по очереди, поскольку старший член произведения должен совпасть со старшим членом текущего остатка. В конце умножьте найденное частное на делитель и прибавьте остаток: должен получиться исходный многочлен.

Условие делимости часто содержит неизвестный коэффициент, но выполнять деление для его поиска необязательно. Если делитель x − a, остаток равен f(a), а при точном делении он должен быть нулём. Поэтому подставьте a в многочлен и решите уравнение f(a) = 0 относительно неизвестного. После этого деление можно выполнить отдельно, если требуется найти частное.

Деление многочлена на линейный двучлен и теорема Безу

Для проверки делимости сначала определите число a из делителя x − a, затем найдите f(a). Нулевое значение означает, что деление точное; ненулевое показывает величину остатка. Чтобы получить частное, потребуется само деление, а не только таблица.

Разбор задач

Задача 1. Разделить x³ − 2x² + x + 3 на x − 1 и определить остаток.

Сначала найдём остаток по теореме Безу: в делителе x − 1 число a равно 1. Для частного выполним деление столбиком, а в конце проверим результат по формуле с остатком. Так мы отдельно используем быстрый способ нахождения остатка и обычное деление для частного.

1. Вычислим f(1) = 1 − 2 + 1 + 3 = 3, значит, остаток равен 3.
2. Старшие члены дают первый член частного x², поскольку x³ : x = x². Вычитаем (x − 1)x² = x³ − x² и получаем −x² + x + 3.
3. Далее получаем −x, так как −x² : x = −x. После вычитания −x² + x остаётся 3, степень которой меньше степени делителя.
4. Значит, частное равно x² − x, а остаток равен 3. Проверка: (x − 1)(x² − x) + 3 = x³ − 2x² + x + 3.

Ответ: частное x² − x, остаток 3.

Задача 2. Проверить, делится ли x³ − 3x² + 4 на x − 2, и если делится — найти частное.

Теорема Безу позволяет сначала проверить делимость без полного деления. Делителю x − 2 соответствует a = 2, поэтому вычислим значение многочлена при двойке. Если оно равно нулю, найдём частное; если нет, деление точным не будет.

1. Пусть f(x) = x³ − 3x² + 4. Тогда f(2) = 8 − 12 + 4 = 0.
2. Нулевое значение означает, что остаток равен нулю и многочлен делится на x − 2.
3. Делением получаем частное x² − x − 2: произведение (x − 2)(x² − x − 2) равно x³ − 3x² + 4.

Ответ: делится, частное x² − x − 2.

Задача 3. Найти m, если x³ + mx² − 4x + 4 делится на x − 2, и записать частное.

Неизвестный коэффициент сначала найдём по условию точной делимости. Так как делитель x − 2, остаток равен значению многочлена при x = 2 и должен быть равен нулю. После нахождения m проверим деление и выпишем частное.

1. Обозначим f(x) = x³ + mx² − 4x + 4. Тогда f(2) = 8 + 4m − 8 + 4 = 4m + 4.
2. Приравниваем остаток к нулю: 4m + 4 = 0, откуда m = −1.
3. Получаем многочлен x³ − x² − 4x + 4. Делим его на x − 2 и получаем частное x² + x − 2.
4. Проверка: (x − 2)(x² + x − 2) = x³ − x² − 4x + 4, значит, остатка нет.

Ответ: m = −1, частное x² + x − 2.

Типичные ошибки

• Подставляют в f(x) не то число, которое задаёт делитель. Для x − a нужно вычислить f(a), а не f(−a): знак уже учтён в записи x − a. Например, у x + 3 соответствующее a равно −3. Проверьте себя, представив делитель именно в форме x − a.

• Принимают f(a) за частное. По теореме Безу значение f(a) — это остаток, а частное обычно является многочленом. Ошибка возникает из-за того, что оба результата связаны с делением. Чтобы проверить ответ, подставьте найденные q(x) и r в равенство f(x) = (x − a)q(x) + r.

• Считают, что для делимости значение f(a) должно быть ненулевым. На самом деле точное деление означает нулевой остаток, поэтому необходимо f(a) = 0. Ненулевое значение сообщает, каким будет остаток, а не подтверждает делимость. Подставьте найденное число в формулу Безу и сравните результат с нулём.

• При делении пропускают нулевой коэффициент отсутствующей степени, например в многочлене x³ + 4x + 1. Тогда коэффициенты сдвигаются и дальнейшие действия дают неверное частное. Записывайте многочлен как x³ + 0x² + 4x + 1 и сохраняйте порядок степеней. Проверка умножением сразу обнаружит потерянный или перепутанный член.

Связь с другими темами

Для работы нужны правила действий с многочленами и умение делить их с остатком: без этого нельзя найти частное и проверить результат. Также важно уметь подставлять число в многочлен и проверять, является ли оно корнем. Теорема Безу помогает соединить вычисление значения с разложением на множители. Позже этот приём пригодится при нахождении корней уравнений и неизвестных коэффициентов.

Что запомнить

• При делении многочлена на x − a остаток — число.
• Остаток от деления f(x) на x − a равен f(a).
• Многочлен делится на x − a без остатка тогда и только тогда, когда f(a) = 0.
• Число a является корнем f(x) тогда и только тогда, когда x − a — его множитель.
• После нахождения частного и остатка результат можно проверить умножением.