"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Деление многочлена с остатком позволяет представить A(x) в виде B(x)Q(x) + R(x), где B(x) — делитель, Q(x) — частное, а степень R(x) меньше степени B(x). Такой способ помогает выполнять деление уголком, находить остаток без полного деления при делителе x − a, проверять вычисления и исследовать корни и разложение многочленов на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — выражение, состоящее из суммы одночленов, например 3x³ − 2x + 5. Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной среди его ненулевых членов. Это число показывает, какой старший член нужно учитывать при сравнении и делении многочленов.
Деление многочлена с остатком — представление делимого в виде произведения делителя и частного плюс остаток: A(x) = B(x)Q(x) + R(x). Такая запись играет ту же роль, что и обычное равенство при делении чисел, только вместо чисел используются многочлены. Она позволяет увидеть результат деления и проверить его.
Частное — многочлен Q(x), который вместе с делителем B(x) и остатком R(x) образует равенство деления. Его находят постепенно, начиная со старших членов делимого. Знание частного нужно, чтобы понять, какая часть делимого делится нацело.
Остаток — многочлен R(x), степень которого меньше степени делителя, либо нулевой многочлен. Поэтому остаток не всегда является числом: при делителе второй степени он может быть линейным, например 2x − 1. Нулевой остаток означает, что деление выполнено без остатка.
При делении ненулевого многочлена A(x) на B(x) ищут такие Q(x) и R(x), чтобы A(x) = B(x)Q(x) + R(x). Из этого равенства следует A(x) − B(x)Q(x) = R(x), то есть остаток — это часть делимого, которая остаётся после выделения делящейся части. Поэтому запись точно описывает смысл деления с остатком.
Сначала сравнивают старшие члены текущего остатка и делителя. Их частное становится очередным членом Q(x), потому что именно такое умножение позволит сократить старший член текущего остатка. Например, если старшие члены равны 6x⁴ и 2x², первым членом частного будет 3x².
Полученный член частного умножают на весь делитель, а результат вычитают из текущего остатка. Вычитать нужно всё произведение, а не только его старший член: остальные слагаемые изменят следующие шаги. После вычитания получают новый текущий остаток и снова рассматривают его старший член.
Повторение заканчивается, когда степень текущего остатка становится меньше степени делителя. Тогда ещё один член частного выбрать нельзя: старший член остатка уже не делится на старший член делителя с многочленным результатом. Именно этот текущий остаток и записывают как R(x).
Частное и остаток единственны: если бы существовали два разных результата, вычитание соответствующих равенств дало бы ненулевой многочлен одновременно меньшей степени и степени не меньше степени делителя, что невозможно. Условие на степень поэтому не формальность, а критерий окончания алгоритма. Для делителя x − a остаток имеет степень меньше единицы, значит, это число, причём R = A(a).
| Что рассматриваем | Правило или условие |
|---|---|
| Равенство деления | A(x) = B(x)Q(x) + R(x) |
| Связь степеней делимого, делителя и частного | Если деление не даёт нулевое частное, то deg A = deg B + deg Q |
| Ограничение на степень остатка | R(x) = 0 или deg R < deg B |
| Условие завершения деления | Степень текущего остатка меньше степени делителя |
| Проверка результата | Нужно раскрыть B(x)Q(x) + R(x) и получить A(x) |
Таблица помогает быстро восстановить общую форму результата и проверить, не пропущено ли условие на остаток. Сначала проверьте равенство, затем сравните степени и только после этого считайте вычисления правильными. Для нулевого остатка условие степени выполняется автоматически.
Разделим x³ − 2x² + 4x − 5 на x − 2. Линейный делитель позволяет использовать схему Горнера, то есть последовательно умножать полученное число на 2 и складывать со следующим коэффициентом.
Ответ: Q(x) = x² + 4, R = 3. Проверка: (x − 2)(x² + 4) + 3 = x³ − 2x² + 4x − 5.
Разделим 2x⁴ + x³ − 3x² + 5x − 1 на x² − x + 1. Степень делителя равна 2, поэтому остановимся, когда остаток станет линейным или постоянным.
Ответ: Q(x) = 2x² + 3x − 2, R(x) = 2x − 3. Условие на степень остатка выполнено.
Пусть A(x) = x³ + ax + b. При делении на x − 1 остаток равен 4, а при делении на x + 1 остаток равен 0. Используем правило A(c) для делителя x − c.
Ответ: a = 1, b = 2. Проверка: A(1) = 4, а A(−1) = 0.
Продолжать деление после того, как степень текущего остатка меньше степени делителя, нельзя. Так часто делают по привычке, не проверяя степени; остановитесь и сравните их после каждого вычитания.
При вычитании произведения делителя на член частного ошибаются со знаками. Ошибка возникает, если мысленно вычитать только первый член; записывайте всё произведение в скобках и меняйте знак у каждого слагаемого.
Остаток не всегда число. Его степень может быть любой, меньшей степени делителя, поэтому при делителе x² + 1 остаток способен иметь вид px + q; проверяйте именно сравнение степеней.
При делении на x − a иногда подставляют −a. Правильная точка — a, а для делителя x + a нужно заметить, что это x − (−a); полезно каждый раз переписывать делитель в форме x − c.
Для деления многочленов нужны навыки сложения и умножения многочленов, раскрытия скобок и определения степени. Деление на линейный двучлен связывает многочлен с его значением в конкретной точке и помогает находить корни и разлагать выражения на множители. Представление через частное и остаток используется при исследовании многочленных уравнений и в схеме Горнера.
Почему остаток должен иметь степень меньше степени делителя?
Если степень остатка не меньше степени делителя, из него можно вычесть ещё одно подходящее произведение делителя на одночлен. Значит, деление ещё не закончено.
Как понять, что деление многочленов уже закончено?
Нужно сравнить степени текущего остатка и делителя. Деление прекращают, когда степень остатка становится меньше степени делителя.
Может ли остаток при делении быть нулём?
Да, нулевой остаток возможен. Тогда делитель делит многочлен нацело, а равенство имеет вид A(x) = B(x)Q(x).
Как найти остаток при делении на x−a без деления уголком?
Достаточно вычислить значение делимого в точке a: R = A(a). Это следует из равенства A(x) = (x − a)Q(x) + R.
Как проверить, что частное и остаток найдены верно?
Умножьте делитель на найденное частное и прибавьте остаток. Если после упрощения получается исходный многочлен, результат верен; дополнительно проверьте, что степень остатка меньше степени делителя.
3.3. Операции с многочленами: деление с остатком
