"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Разность и сумма одинаковых степеней можно разлагать на множители по формулам, а бином Ньютона помогает раскрывать степень суммы и находить нужные коэффициенты. Разность aⁿ−bⁿ всегда содержит множитель a−b, а сумма aⁿ+bⁿ — множитель a+b только при нечётном n. В разложении бинома степени переменных меняются по порядку, а коэффициенты образуют треугольник Паскаля.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двучлен aⁿ−bⁿ — разность n-х степеней двух выражений a и b, где n — натуральное число. Буквы a и b могут обозначать числа или выражения, например многочлены. Такое обозначение позволяет применять одну формулу к самым разным примерам, не расписывая отдельно каждую степень.
Двучлен aⁿ+bⁿ — сумма n-х степеней выражений a и b. При нечётном натуральном n его можно разложить с множителем a+b, а при чётном n такой множитель обычно отсутствует. Чётность показателя помогает сразу понять, какую формулу можно применить.
Бином Ньютона — формула для разложения степени суммы (a+b)ⁿ в сумму слагаемых с последовательно меняющимися степенями a и b. Формула позволяет раскрывать скобки, даже если показатель велик, и находить отдельные слагаемые. Её коэффициенты задаются специальными числами.
Биномиальный коэффициент C(n,k) — коэффициент при aⁿ⁻ᵏbᵏ в разложении (a+b)ⁿ, где k принимает целые значения от 0 до n. Он показывает, сколько раз соответствующий набор степеней возникает при перемножении скобок. Например, C(5,2) = 10 — коэффициент при a³b² в (a+b)⁵.
Разность степеней всегда раскладывается с множителем a−b: aⁿ−bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+…+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹). Почему работает формула? При умножении на a каждый член суммы сдвигается на одну степень a вверх, а при умножении на −b — на одну степень b вверх и получает минус. Все промежуточные члены встречаются с противоположными знаками и сокращаются, оставляя aⁿ−bⁿ.
Для нечётного n сумма степеней раскладывается так: aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²−…+bⁿ⁻¹). Знаки в скобках чередуются, потому что при умножении на a и на b соседние слагаемые должны взаимно уничтожиться. Последний знак оказывается плюсом: число переходов от первого члена к последнему чётно, если n нечётно.
Связь множителя a+b с нечётностью можно проверить подстановкой a = −b. Если a+b является множителем, выражение должно обратиться в ноль при этой подстановке. Для нечётного n получаем (−b)ⁿ+bⁿ = 0, а для чётного — 2bⁿ, что обычно не равно нулю. Поэтому при чётном n делимость на a+b в общем случае невозможна.
В разложении (a+b)ⁿ показатель a последовательно уменьшается от n до 0, а показатель b увеличивается от 0 до n. В каждом слагаемом сумма показателей равна n, поэтому всего получается n+1 слагаемое. Коэффициенты идут по строкам треугольника Паскаля: края каждой строки — единицы, а внутренние числа складываются из двух соседних чисел предыдущей строки.
Чтобы получить разложение (a−b)ⁿ, в формуле для (a+b)ⁿ вместо b записывают −b. Тогда каждый член содержит (−b)ᵏ, а знак зависит от чётности k: при чётном k он положительный, при нечётном — отрицательный. Поэтому знаки чередуются, начиная с плюса. Например, (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³.
| Случай | Условие | Разложение или правило |
|---|---|---|
| Разность степеней aⁿ−bⁿ | Натуральное n | (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+…+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹) |
| Сумма степеней aⁿ+bⁿ | Нечётное n | (a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+…−abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹) |
| Сумма степеней при чётном n | Чётное n | Множитель a+b в общем случае отсутствует |
| Бином (a+b)ⁿ | Натуральное n | Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ, где k = 0, 1, …, n |
| Бином (a−b)ⁿ | Натуральное n | Σ (−1)ᵏC(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ, где k = 0, 1, …, n |
Сначала определите, перед вами сумма или разность степеней и чётен ли показатель. Затем выберите подходящую строку и подставьте выражения вместо a и b. Для бинома проверьте, что коэффициенты и степени соответствуют одному и тому же k.
Задача 1. Разложить на множители x⁵−y⁵. Это разность степеней, поэтому выделяем x−y, а в скобки записываем сумму произведений с последовательно уменьшающейся степенью x. Показатель 5 нечётный, но для разности знаки внутри оставшегося множителя всё равно положительные. Проверим ответ умножением.
Ответ: (x−y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴).
Задача 2. Разложить на множители a⁷+b⁷. Показатель 7 нечётный, значит, сумма делится на a+b. В оставшемся многочлене знаки чередуются; это нужно, чтобы при умножении промежуточные члены уничтожались. Запишем степени от a⁶ до b⁶.
Ответ: (a+b)(a⁶−a⁵b+a⁴b²−a³b³+a²b⁴−ab⁵+b⁶).
Задача 3. Найти коэффициент при x³ в разложении (2x−1)⁵. Не нужно выписывать все шесть слагаемых. В общем члене бинома выбираем k раз множитель −1 и 5−k раз множитель 2x; степень x тогда равна 5−k. Приравниваем её к 3 и находим нужный член.
Ответ: 80.
Выносить a+b из aⁿ+bⁿ при чётном n — ошибка: правило применимо к сумме только при нечётном показателе. Её допускают, перенося формулу для нечётного показателя на любой случай. Проверка простая: подставьте a = −b; при чётном n сумма обычно не обращается в ноль.
В разложении aⁿ−bⁿ ставить чередующиеся знаки в скобках — значит изменить формулу. Здесь все члены множителя имеют знак плюс, потому что знаки сокращаются при умножении именно на a−b. Проверьте раскрытием скобок: промежуточные слагаемые должны исчезнуть, а крайние дать aⁿ−bⁿ.
В биноме Ньютона иногда переставляют степени так, что они не соответствуют коэффициентам. Причина — забывают, что показатель a убывает, а показатель b одновременно возрастает. Для проверки сложите показатели в каждом члене: сумма обязана равняться n, а число слагаемых — n+1.
Ещё одна ошибка — потерять биномиальный коэффициент или числовой множитель при возведении выражения в степень. Например, (2x)ᵏ = 2ᵏxᵏ, а не просто xᵏ; коэффициент C(n,k) также входит в этот член. Перед ответом отдельно проверьте выбранный индекс k, числовую степень и знак.
Для этих формул нужны действия со степенями, формулы сокращённого умножения и умение умножать многочлены. В частности, проверка разложения основана на распределительном свойстве: каждый член множителя перемножается с каждым членом двучлена. Треугольник Паскаля связывает биномиальные коэффициенты с простыми правилами сложения.
Разложения степеней упрощают выражения, помогают решать уравнения и сокращать дроби, когда общий множитель виден после факторизации. Бином Ньютона удобен для раскрытия высоких степеней и вычисления конкретного коэффициента без записи всего многочлена. Обратное умножение помогает убедиться, что разложение верно.
Почему a^n−b^n всегда делится на a−b?
При умножении a−b на сумму aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + bⁿ⁻¹ соседние промежуточные слагаемые сокращаются. Остаются только aⁿ и −bⁿ, поэтому произведение равно aⁿ−bⁿ.
Почему a^n+b^n раскладывается с множителем a+b только при нечётном n?
Если n нечётно, при подстановке a = −b сумма обращается в ноль, поэтому она делится на a+b. Если n чётно, получаем 2bⁿ, которое обычно не равно нулю; значит, множитель a+b в общем случае выделить нельзя.
Как быстро записать коэффициенты бинома Ньютона?
Можно взять строку треугольника Паскаля с номером n: её крайние числа равны 1, а каждое внутреннее число — сумма двух чисел над ним. Например, для n = 4 это 1, 4, 6, 4, 1.
Как получить разложение (a−b)^n из формулы для (a+b)^n?
В формуле бинома Ньютона заменяют b на −b. Тогда множитель bᵏ превращается в (−b)ᵏ, поэтому члены с нечётными k получают знак минус, а с чётными — плюс.
Как найти один коэффициент, не раскрывая весь бином?
Найдите в общей формуле член, где степень переменной совпадает с нужной. Затем вычислите только его биномиальный коэффициент и числовой множитель; остальные слагаемые раскрывать не требуется.
3.2. Разложение на множители двучленов a^n+b^n и a^n-b^n. Бином Ньютона
