3.1. Многочлены от одной переменной: основные определения

Определения и обозначения

Одночлен — произведение числового коэффициента и неотрицательной целой степени переменной, например −3x⁴, 5x или 7. Число 7 можно записать как 7x⁰, поскольку x⁰ = 1. Коэффициент 1 обычно не указывают: x² означает 1 · x², а при коэффициенте 0 произведение равно нулю. Это определение помогает отличать допустимые слагаемые многочлена от выражений с неподходящими показателями.

Многочлен — сумма одночленов; вычитание тоже можно понимать как сложение слагаемого с противоположным знаком. Например, 2x³ − x + 4 — многочлен от одной переменной x. Выражения с x в знаменателе или с дробным показателем, например 1/x и √x, многочленами не являются. Это понятие позволяет объединять отдельные одночлены в выражения, с которыми можно выполнять алгебраические действия.

Степень ненулевого многочлена — наибольший показатель переменной среди его членов с ненулевыми коэффициентами. Так, степень многочлена 3x⁴ + x − 2 равна 4, даже если в нём нет членов со степенями 3 и 2. У нулевого многочлена все коэффициенты равны нулю, поэтому обычную степень ему не приписывают. Степень показывает, какой показатель определяет старший член после упрощения выражения.

Стандартный вид многочлена — запись после приведения подобных членов, расположенных по убыванию степеней переменной. В записи 4x³ − 2x + 5 старший коэффициент равен 4, а свободный член — 5. Старший коэффициент стоит при члене наибольшей степени, а свободный член не содержит переменной. Стандартная запись нужна, чтобы характеристики многочлена можно было сразу прочитать.

Как это устроено

Многочлен образуется из одночленов сложением и вычитанием. Например, при записи 3x² − 2x + 1 слагаемые −2x и 1 также являются одночленами, только перед ними стоят знаки. Скобки лишь группируют слагаемые и при необходимости раскрываются по правилам действий. Поэтому выражение, записанное не в стандартном виде, всё равно может быть многочленом.

Подобные одночлены имеют одинаковую переменную в одинаковой степени, например 5x² и −2x². Их складывают, складывая коэффициенты: 5x² − 2x² = 3x². Это нужно сделать до определения степени, потому что коэффициенты старших членов могут взаимно уничтожиться. Например, выражение 2x³ − 2x³ + x² на самом деле имеет степень 2, а не 3.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, сначала раскрывают скобки, учитывая знаки перед ними. Затем объединяют подобные слагаемые, а получившиеся члены располагают по убыванию степеней. Например, из 2x + x³ − 4 + 3x² после упорядочивания получается x³ + 3x² + 2x − 4. Такой порядок не меняет значения выражения, но делает его характеристики наглядными.

В стандартном виде степень определяется по первому члену, если его коэффициент ненулевой. Коэффициент этого члена — старший, а слагаемое без переменной в конце записи — свободный член; если такого слагаемого нет, свободный член равен нулю. Например, у 6x⁴ − 3x + 2 степень 4, старший коэффициент 6, свободный член 2. Пропущенные степени не мешают определению: их коэффициенты равны нулю.

Если после приведения подобных членов старший член исчезает, ориентироваться на первоначальную запись нельзя. Например, в выражении 5x⁴ − 5x⁴ + 2x³ член степени 4 сокращается, и степень результата равна 3. Если таким образом исчезают все члены, получается нулевой многочлен. У него нет ненулевого члена, поэтому нельзя назвать ни степень, ни старший коэффициент.

Основные характеристики одночленов и многочленов

Сначала приведите выражение к стандартному виду, а затем ищите наибольшую степень с ненулевым коэффициентом. Коэффициент при этой степени будет старшим, а слагаемое без переменной — свободным членом. Если все коэффициенты равны нулю, перед вами нулевой многочлен.

Разбор задач

Задача 1

Для многочлена P(x) = 4x⁵ − 3x² + 7x − 9 назовите его степень, старший коэффициент и свободный член. Запись уже упорядочена по убыванию степеней, поэтому можно сразу выделить нужные элементы. Отсутствие членов со степенями 4 и 3 не меняет результата.

1. Наибольший показатель переменной среди записанных членов — 5.
2. При члене 4x⁵ стоит коэффициент 4, значит, он старший.
3. Член без переменной равен −9, следовательно, это свободный член.

Ответ: степень 5, старший коэффициент 4, свободный член −9.

Задача 2

Приведите к стандартному виду (3x² − 5x + 1) + (2x³ − 3x² + 4x − 7) − x³ и определите его характеристики. Сначала важно раскрыть скобки: перед второй скобкой стоит плюс, поэтому знаки её слагаемых сохраняются. Затем объединяем члены одинаковых степеней, иначе можно не заметить сокращение.

1. Запишем все слагаемые без скобок: 3x² − 5x + 1 + 2x³ − 3x² + 4x − 7 − x³.
2. Объединим подобные: (2x³ − x³) + (3x² − 3x²) + (−5x + 4x) + (1 − 7) = x³ − x − 6.
3. Запись уже упорядочена по убыванию степеней. Наибольшая степень равна 3, коэффициент при x³ равен 1, свободный член равен −6.

Ответ: x³ − x − 6; степень 3, старший коэффициент 1, свободный член −6.

Задача 3

При каком значении a многочлен P(x) = (a − 2)x⁴ + 3x² − 1 имеет степень 2? Член с x⁴ должен исчезнуть, иначе степень останется равной 4. После этого проверим, что член с x² сохраняется и действительно задаёт степень.

1. Приравняем коэффициент при x⁴ к нулю: a − 2 = 0.
2. Получим a = 2. Тогда P(x) = 3x² − 1, и его наибольшая степень равна 2.
3. Коэффициент при старшем члене 3x² равен 3, а свободный член равен −1.

Ответ: a = 2; старший коэффициент 3, свободный член −1.

Типичные ошибки

Ошибка — называть степенью многочлена число его слагаемых. Так поступают, потому что считают видимые части записи, но степень определяется наибольшим показателем переменной после упрощения. Проверьте себя: найдите показатель старшего ненулевого члена, а не подсчитывайте слагаемые.

Иногда при отсутствующей степени записывают неизвестный коэффициент. На самом деле коэффициент при пропущенном члене равен нулю, например в x³ + 2 коэффициент при x² равен 0. Чтобы проверить ответ, восстановите запись с пропущенным членом: x³ + 0x² + 2.

Нельзя определять старший коэффициент до приведения подобных слагаемых. Иначе можно принять за старший член выражение, которое затем сократится с другим таким же членом. Сложите коэффициенты при одинаковых степенях и только после этого выберите старший ненулевой член.

Свободный член — не любое слагаемое, которое в исходной записи выглядит числом. Числовые слагаемые нужно сложить, а затем определить результат: например, 4 − 4 исчезает, оставляя свободный член 0. Самопроверка проста: после упрощения найдите итоговое слагаемое без переменной.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны свойства степеней с натуральными и нулевыми показателями, действия с одночленами и приведение подобных слагаемых. Эти навыки позволяют упрощать выражения и находить их характеристики без ошибок. Понятия многочлена и его степени понадобятся при сложении, вычитании и умножении многочленов, разложении на множители и применении теоремы Безу. Они также используются при изучении уравнений, неравенств и графиков многочленных функций.

Что запомнить

• Многочлен — сумма одночленов.
• Стандартный вид получают после приведения подобных членов и упорядочивания по степеням.
• Степень ненулевого многочлена — наибольший показатель переменной.
• Старший коэффициент — коэффициент при члене наибольшей степени.
• Свободный член не содержит переменной.
• Если старший коэффициент обращается в ноль, степень многочлена уменьшается.
• Нулевой многочлен не имеет обычной степени.