"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Преобразования графиков позволяют строить новые функции по уже известному графику, не составляя каждый раз подробную таблицу значений. Сдвиги меняют положение графика, множители растягивают или сжимают его, а отрицательные коэффициенты добавляют отражение относительно оси. Эти приёмы помогают быстро исследовать функции, строить графики и решать уравнения и неравенства графическим способом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика функции — построение нового графика по графику известной функции с помощью заданного изменения координат. Например, можно сдвинуть все точки или изменить их расстояния от осей. Это позволяет быстро получать графики сложных функций из знакомых.
Параллельный перенос графика — сдвиг всех его точек на одно и то же расстояние по горизонтали или вертикали. Форма и размеры графика при этом не меняются. Такой приём показывает, как добавление числа к аргументу или значению функции меняет положение кривой.
Растяжение или сжатие графика — изменение координат точек в заданном направлении с умножением координат на число. Если меняются ординаты, график растягивается или сжимается по вертикали, а если абсциссы — по горизонтали. Это помогает понять действие множителей перед функцией и внутри её аргумента.
Отражение графика — замена координаты каждой точки на противоположную по одной из осей. При отражении относительно Ox меняется знак ординаты, а относительно Oy — знак абсциссы. Отрицательные множители и модули часто приводят именно к такому преобразованию.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число b. Поэтому у точки с координатами (x; f(x)) новая ордината равна f(x) + b, а абсцисса не меняется. Все точки перемещаются вертикально на одинаковое расстояние: вверх при b > 0 и вниз при b < 0.
Рассмотрим f(x − a). Чтобы получить прежнее значение f(t), нужно, чтобы x − a = t, откуда x = t + a. Значит, каждая точка получает абсциссу на a больше и график сдвигается вправо. В выражении f(x + a) для того же значения требуется x = t − a, поэтому сдвиг происходит влево.
В формуле y = kf(x) абсцисса каждой точки остаётся прежней, а ордината умножается на k. При |k| > 1 расстояния от оси Ox увеличиваются, и график растягивается по вертикали; при 0 < |k| < 1 он сжимается. Если k < 0, знак ординаты меняется, поэтому одновременно возникает отражение относительно оси Ox.
В формуле y = f(kx) изменяется аргумент, поэтому меняются абсциссы точек. Чтобы сохранить значение f(t), нужно kx = t, то есть новая абсцисса равна t/k; при |k| > 1 график сжимается по горизонтали, а при 0 < |k| < 1 растягивается. Отрицательное k меняет знак абсциссы и добавляет отражение относительно оси Oy.
При построении y = |f(x)| отрицательные значения функции заменяются положительными, а неотрицательные остаются без изменений. Поэтому части графика ниже оси Ox зеркально отражают вверх. В формуле y = f(|x|) аргумент одинаков для x и −x, поэтому берут правую часть исходного графика и отражают её относительно оси Oy.
Таблица помогает определить, какие координаты меняются в каждой формуле. Сначала найдите действие с функцией или с аргументом, затем учтите знак коэффициента. Если преобразований несколько, выполняйте их последовательно, начиная с переноса или с того действия, которое указано первым в вашем способе построения.
| Формула | Изменение графика | Направление и коэффициент |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Параллельный перенос | По вертикали на b |
| y = f(x − a) | Параллельный перенос | По горизонтали на a вправо |
| y = kf(x) | Изменение ординат | По вертикали в |k| раз; при k < 0 — отражение относительно Ox |
| y = f(kx) | Изменение абсцисс | По горизонтали в 1/|k| раз; при k < 0 — отражение относительно Oy |
| y = |f(x)| | Отражение части графика | Части ниже Ox отражаются вверх |
| y = f(|x|) | Построение симметричного графика | Правая часть отражается относительно Oy |
Условие: по графику y = x² построить график y = (x − 2)² + 1. В новой формуле изменены и аргумент, и значение функции. Поэтому удобнее выполнить два последовательных переноса.
Ответ: график y = (x − 2)² + 1 получается переносом y = x² на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Его вершина находится в точке (2; 1).
Условие: по графику y = √x построить график y = −2√(x + 1). Скобки с x отвечают за горизонтальное положение, а множитель перед корнем — за изменение ординат. Отрицательный множитель дополнительно меняет расположение графика относительно оси Ox.
Ответ: график строится сдвигом на 1 влево, вертикальным растяжением в 2 раза и отражением относительно оси Ox. Область определения нового графика: x ≥ −1.
Условие: по графику y = x² − 1 построить y = |x² − 1| и y = (|x|)² − 1. В первом случае модуль стоит после вычисления всей функции, а во втором он изменяет аргумент. Поэтому правила построения будут разными.
Ответ: первый график не имеет точек ниже Ox и получает изломы в точках пересечения с осью. Второй график совпадает с y = x² − 1, так как замена x на |x| не меняет эту чётную функцию.
Ошибка 1. Считать, что f(x − a) сдвигает график влево. Так происходит из-за привычки читать знак буквально, хотя меняется аргумент. Проверьте себя на точке: прежнее значение f(t) достигается при новой абсциссе t + a.
Ошибка 2. Путать y = kf(x) и y = f(kx). В первом случае умножаются ординаты, во втором — абсциссы, поэтому направления изменения различны. Полезно спросить себя, где стоит коэффициент: перед функцией или внутри аргумента.
Ошибка 3. Отражать весь график при построении y = |f(x)|. Модуль не меняет положительные значения, поэтому вверх перемещаются только участки ниже Ox. Проверка проста: у нового графика не должно быть точек с y < 0.
Ошибка 4. При построении y = f(|x|) отражать весь исходный график или использовать левую часть. Сначала берут только правую часть, потому что |x| ≥ 0, а затем зеркально переносят её влево. Итоговый график обязательно симметричен относительно Oy.
Для преобразований нужно уметь строить графики основных функций и находить точки по формуле y = f(x). Знание характерных точек и формы графика позволяет выполнять переносы и отражения без новой таблицы значений.
Эти приёмы используются при исследовании функций, когда нужно быстро определить область значений, нули и промежутки знакопостоянства. Они также помогают решать уравнения и неравенства графическим способом, сравнивая положение двух графиков.
Почему график y = f(x − 3) сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение функции f(t), в новой формуле нужно x − 3 = t, то есть x = t + 3. Поэтому каждая точка графика получает абсциссу на 3 больше и перемещается вправо.
Чем отличаются преобразования y = 2f(x) и y = f(2x)?
В формуле y = 2f(x) умножаются значения y, поэтому график растягивается по вертикали в 2 раза. В формуле y = f(2x) изменяются абсциссы: график сжимается по горизонтали в 2 раза.
Как определить, в какую сторону сдвигается график при изменении аргумента?
Сравните новую формулу с f(x − a) или f(x + a). Знак внутри скобок меняет направление: x − a даёт сдвиг вправо на a, а x + a — влево на a.
Какие части графика нужно отражать при построении y = |f(x)|?
Отражаются только части исходного графика, расположенные ниже оси Ox. Участки выше оси и точки на оси остаются на месте, поэтому новый график не имеет отрицательных значений y.
Почему график y = f(|x|) симметричен относительно оси Oy?
Значения |x| одинаковы для чисел x и −x, поэтому f(|x|) принимает одинаковые значения в симметричных точках. Для построения берут правую часть исходного графика и отражают её относительно оси Oy.
4.2. Основные приёмы построения графиков функций
