4.3. Понятие предела функции на бесконечности

Определения и обозначения

Запись lim(x→+∞) f(x) = A означает, что значения функции можно сделать сколь угодно близкими к числу A, если выбрать достаточно большие положительные x. Число A называют конечным пределом функции при x → +∞. Эта запись нужна, чтобы кратко описать поведение функции далеко справа на числовой прямой.

Запись lim(x→−∞) f(x) = A означает, что f(x) приближается к A при достаточно больших по модулю отрицательных x. Здесь исследуют поведение функции далеко слева, а не около какой-либо отдельной точки. Такое обозначение позволяет отдельно описать левый конец графика и сравнить его с правым.

Записи lim(x→+∞) f(x) = +∞ и lim(x→+∞) f(x) = −∞ означают, что значения функции при больших положительных x неограниченно возрастают или убывают соответственно. В этих случаях говорят о бесконечном пределе, а не о приближении к конечному числу. Эти обозначения помогают отличать уход графика вверх или вниз от его приближения к горизонтальному уровню.

Если при x → +∞ или x → −∞ функция стремится к конечному числу A, прямую y = A называют горизонтальной асимптотой графика на соответствующем конце. Асимптота показывает, к какой высоте график приближается вдали. Она не обязана пересекать график или быть значением функции.

Как это устроено

Вопрос о пределе на бесконечности возникает не из-за поведения функции в одной точке, а из-за того, что происходит с ней вдали от начала координат. Бесконечность не является числом, которое можно подставить вместо x, поэтому значения f(+∞) не вычисляют. Вместо этого сравнивают значения функции при всё больших x или при всё более отрицательных x. Так можно понять общий характер графика на его концах, даже если функция там не определена в отдельной точке.

Определение конечного предела задаёт точный смысл слова «приближается». Для любого ε > 0, то есть для любой заранее выбранной точности, можно найти число M, чтобы при x > M выполнялось |f(x) − A| < ε. Модуль измеряет расстояние между значением функции и предполагаемым пределом. Поскольку ε можно взять сколь угодно малым, функция в итоге оказывается в сколь угодно узкой полосе вокруг A и остаётся в ней при дальнейшем увеличении x.

Для x → −∞ условие близости к A проверяют не при больших положительных значениях, а при достаточно отрицательных x. Например, можно потребовать x < −M: тогда модуль x больше M, но сам аргумент находится слева на числовой прямой. Это различие необходимо, потому что график может вести себя неодинаково на правом и левом концах. Поэтому каждый предел на бесконечности устанавливают отдельно, не перенося вывод с одной стороны на другую.

Существование конечного предела означает, что расстояние |f(x) − A| становится меньше любой заданной положительной величины. Оно не означает, что когда-нибудь f(x) точно станет равна A: значения могут лишь приближаться к нему. На графике это выглядит так, будто кривая всё теснее подходит к горизонтальной прямой y = A при движении вправо или влево. Два конца графика могут приближаться к разным прямым, а на одном из них конечного предела может вовсе не быть.

Виды пределов функции на бесконечности

Сначала определите, какой конец числовой прямой рассматривается, затем сопоставьте поведение функции с одной из строк. Конечный результат даёт уравнение горизонтальной асимптоты, а бесконечный предел — нет. По таблице также видно, почему пределы справа и слева нужно проверять отдельно.

Разбор задач

Задача 1. По графику функции определить, к какому числу стремится f(x) при x → +∞, и записать предел. Проследите за правой частью кривой, когда x увеличивается. Если значения y всё ближе подходят к одному уровню A, именно он является пределом, даже если график не пересекает этот уровень. Ответ записывают как lim(x→+∞) f(x) = A.

1. Выберите на графике правую часть: рассматривается x → +∞, а не движение влево.
2. Проследите, к какой высоте приближаются точки кривой при увеличении x. Не ищите точку с «самым большим x»: важно устойчивое приближение к уровню.
3. Назовите соответствующее значение y числом A и запишите предел. Если кривая не приближается к одному уровню, конечного предела по графику установить нельзя.

Задача 2. Найдите пределы f(x) = 1/x при x → +∞ и x → −∞, обосновав ответ по определению. Для любого ε > 0 достаточно добиться, чтобы расстояние до нуля было меньше ε. Так как |1/x| = 1/|x|, нужное условие выполняется при |x| > 1/ε, причём оно подходит для обоих направлений.

1. Положим A = 0 и рассмотрим расстояние |f(x) − A| = |1/x| = 1/|x|.
2. Для заданного ε > 0 выберем M = 1/ε. Если x > M, то |x| > 1/ε, поэтому |1/x| < ε.
3. Если x < −M, то также |x| > 1/ε, и снова |1/x| < ε. Следовательно, оба предела равны нулю.

Задача 3. Найдите пределы f(x) = (2x² + 3)/(x² − 1) при x → +∞ и x → −∞ и укажите горизонтальную асимптоту. При больших по модулю x удобнее сравнить старшие степени, разделив числитель и знаменатель на x². После упрощения слагаемые 3/x² и 1/x² стремятся к нулю при обоих направлениях изменения x.

1. Разделим числитель и знаменатель на x²: f(x) = (2 + 3/x²)/(1 − 1/x²).
2. При x → +∞ величина 1/x² стремится к нулю, поэтому дробь стремится к 2/1 = 2.
3. При x → −∞ квадрат x также неограниченно возрастает, а 1/x² по-прежнему стремится к нулю. Оба предела равны 2, значит, горизонтальная асимптота на обоих концах — y = 2.

Типичные ошибки

Считать предел при x → +∞ значением функции в точке x = +∞ — ошибка: бесконечность не является числом и не входит в область определения как точка. Такую подстановку иногда делают по аналогии с вычислением f(a), но предел описывает не значение в точке, а поведение при больших x. Проверка проста: спросите себя, задана ли функция при аргументе «плюс бесконечность»; такого аргумента нет.

Путать пределы при x → +∞ и x → −∞ опасно, потому что правый и левый концы графика могут вести себя по-разному. Ошибка возникает, если вывод с одной стороны автоматически переносят на другую. Проверяйте каждое направление отдельно: при x → +∞ берите большие положительные x, а при x → −∞ — большие по модулю отрицательные.

Утверждение, что функция обязана достичь предела, смешивает приближение с равенством. Его часто делают, потому что слово «стремится» звучит как достижение конечной цели. Проверьте формулировку определения: требуется сделать |f(x) − A| меньше любого ε > 0, а не получить f(x) = A; например, 1/x стремится к нулю, не принимая нулевого значения.

Называть y = A горизонтальной асимптотой только по внешнему виду графика недостаточно: приближение должно подтверждаться пределом. На рисунке кривая может выглядеть близкой к прямой на ограниченном участке, но на большом удалении поведение окажется иным. Для проверки установите, что соответствующий предел действительно равен A, и укажите, на каком конце графика это происходит.

Связь с другими темами

Для работы с пределом нужны понятия области определения функции и числовой прямой: они помогают понять, какие значения x допустимы и в каком направлении рассматривается их изменение. Также пригодится умение читать неравенства с переменной, например x > M или x < −M, поскольку через них задают условия определения предела. Позже пределы на бесконечности помогут находить горизонтальные асимптоты и исследовать графики функций. Эти идеи связаны с темами непрерывности и построения графиков.

Что запомнить

• Предел при x→+∞ описывает поведение функции для достаточно больших положительных x.
• Предел при x→−∞ описывает поведение функции для достаточно больших по модулю отрицательных x.
• Конечный предел A означает возможность сделать |f(x)−A| меньше любого заданного ε>0.
• Функция может стремиться к пределу, не принимая его значения.
• Пределы на разных концах числовой прямой могут быть различными.
• Если предел на одном из концов равен A, то y=A — горизонтальная асимптота на этом конце.