§ 22. Понятие функции

Определения и обозначения

Функция — соответствие, при котором каждому элементу заданного множества ставится в соответствие ровно один элемент другого множества. Это правило нужно, чтобы по выбранному аргументу можно было однозначно определить результат. Если одному аргументу соответствуют два разных результата, перед нами не функция.

Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента, для которых функция задана. Её часто обозначают D(f). Это понятие показывает, какие значения можно использовать, не нарушая условия задачи и не получая бессмысленных выражений.

Аргумент функции — независимая переменная, которую обычно обозначают x; соответствующее ей значение записывают как f(x) или y. Обозначение f(x) указывает, что результат зависит от выбранного x. Чтобы найти значение функции, аргумент подставляют в правило, задающее эту зависимость.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает при аргументах из области определения. Его можно обозначать E(f). Оно нужно, чтобы описать возможные результаты работы функции, а не возможные входные данные.

Как это устроено

У функции каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение, потому что функция должна задавать определённую зависимость: при известном x результат не должен оставаться на выбор. Разные аргументы могут привести к одному и тому же результату — это не нарушает правило. Например, если соответствие задано стрелками, достаточно проверить каждый элемент исходного множества: из него должна выходить ровно одна стрелка. Отсутствие стрелки или две стрелки к разным результатам означают, что условие функции не выполнено.

Область определения ограничивает выбор аргумента: брать можно только те значения, для которых правило задачи применимо. Ограничение иногда задаётся самой ситуацией: время в задаче о движении не может быть отрицательным. Иногда его создаёт формула: делить на ноль нельзя, а под квадратным корнем в действительных числах не может стоять отрицательное число. Поэтому при поиске области определения учитывают и смысл задачи, и все выражения в формуле.

Запись y = f(x) показывает, что y определяется выбранным значением x по правилу f. Например, если f(x) = 2x − 3, то при x = 4 получаем f(4) = 2 · 4 − 3 = 5. Запись f(4) означает не произведение f и 4, а значение функции при аргументе 4. Если x встречается в формуле несколько раз, заданное число подставляют вместо каждого вхождения x.

Область определения отвечает на вопрос, какие аргументы разрешены, а множество значений — какие результаты из них получаются. Это разные множества, даже если в отдельных задачах они могут совпасть. Например, у функции f(x) = x² область определения — все действительные числа, а значения неотрицательны. Квадрат любого действительного числа не может быть меньше нуля, поэтому множество значений этой функции — числа от нуля и выше.

Зависимость можно сообщить словами, перечислить значения в таблице, задать формулой или представить графиком. Эти способы помогают в разных ситуациях: таблица удобна для отдельных значений, формула — для вычислений, график — для наглядного сравнения. Иногда одна и та же функция описана несколькими способами, например таблица составлена по формуле. Способ записи меняется, но требование остаётся прежним: каждому допустимому аргументу соответствует один результат.

Основные элементы функции

Используйте таблицу как памятку: сначала определите, что именно известно — аргумент, правило или результат. Затем выясните, какой вопрос нужно решить: допустим ли аргумент или какие значения функция может принимать. Это помогает не смешивать входные данные с полученными результатами.

Разбор задач

Проверяем соответствие по стрелкам

Определить, задаёт ли соответствие из множества {1, 2, 3} в множество {a, b} функцию: 1 → a, 2 → b, 3 → a.

1. Проверим элемент 1: ему поставлено в соответствие значение a, причём только одно.
2. У элемента 2 тоже ровно один результат — b. Элемент 3 связан только с a.
3. То, что элементам 1 и 3 соответствует одно и то же значение a, допустимо: единственность требуется для каждого отдельного аргумента, а не для результата.

Ответ: да, это функция, так как каждому элементу первого множества соответствует ровно один элемент второго множества.

Находим область определения и значение

Для функции f(x) = 2x − 3 найти область определения и вычислить f(4).

1. В формуле есть умножение и вычитание, но нет деления на выражение с x или квадратного корня. Значит, никаких ограничений на действительное x нет.
2. Область определения — все действительные числа, то есть D(f) = ℝ.
3. Чтобы найти f(4), заменяем x на 4: f(4) = 2 · 4 − 3 = 8 − 3 = 5.

Ответ: D(f) = ℝ; f(4) = 5.

Исследуем функцию с квадратным корнем

Для функции g(x) = √(x − 1) определить область определения и множество значений.

1. Под квадратным корнем в действительных числах должно стоять неотрицательное число. Поэтому составляем условие x − 1 ≥ 0.
2. Решаем неравенство: x ≥ 1. Это и есть область определения, D(g) = [1; +∞).
3. При x = 1 подкоренное выражение равно нулю, и значение функции равно 0. При увеличении x подкоренное выражение может стать любым неотрицательным числом, поэтому корень принимает все значения от 0 и выше.

Ответ: область определения — [1; +∞), множество значений — [0; +∞).

Типичные ошибки

Ошибка: считать функцией соответствие, в котором одному аргументу назначены два разных значения. Такое случается, если проверяют лишь наличие стрелки и не проверяют их количество. Просмотрите стрелки от каждого элемента исходного множества: должна быть ровно одна.

Ошибка: путать область определения с множеством значений. Оба понятия описывают множества, поэтому их легко перепутать местами. Спросите себя: речь о том, что подставляют, или о том, что получают? Аргументы относятся к области определения, результаты — к множеству значений.

Ошибка: считать, что аргумент всегда должен быть положительным. Такое ограничение иногда переносят из отдельных задач на все функции. Проверяйте условие и формулу: аргумент может быть отрицательным, если это не запрещено их смыслом и математическими ограничениями.

Ошибка: неверно вычислять f(a), подменяя аргумент результатом или не заменяя все x. Это часто происходит, когда обозначение f(a) воспринимают как отдельное действие. Запишите исходную формулу и обведите каждое x; затем замените каждое из них на a и только после этого вычисляйте.

Связь с другими темами

Для изучения функций пригодятся умения работать с переменными и числовыми выражениями, понимать множества и пользоваться координатной плоскостью. Это позволяет проверять ограничения формулы, различать аргументы и результаты и изображать зависимость. Понятие функции понадобится при изучении графиков, свойств функций и преобразований выражений, а также при решении уравнений и неравенств. Функциями описывают зависимости между величинами не только в математике, но и в других предметах.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Область определения — множество допустимых аргументов.
• Множество значений — все результаты, которые принимает функция.
• Значение функции при аргументе a записывают f(a).
• Функцию можно задать словесно, таблицей, формулой или графиком.