§ 21. Теорема Виета и симметрические многочлены

Определения и обозначения

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для приведённого многочлена, то есть многочлена со старшим коэффициентом 1, коэффициенты выражаются через суммы произведений корней с чередующимися знаками. Это позволяет находить сведения о корнях, даже если сами корни пока неизвестны.

Формулы Виета для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 имеют вид x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Для приведённого многочлена степени n с корнями x₁,…,xₙ коэффициент при xⁿ⁻ᵏ равен (−1)ᵏeₖ, где eₖ — сумма произведений корней по k. Эти формулы обобщают знакомые соотношения для квадратного уравнения.

Симметрический многочлен — многочлен от нескольких переменных, значение которого не меняется при любой их перестановке. Например, ab + ac + bc останется тем же, если поменять местами a, b и c. Свойство полезно, когда порядок корней не задан или не имеет значения.

Элементарные симметрические многочлены — основные симметричные выражения: сумма переменных, сумма их попарных произведений и далее сумма произведений по k переменных. Для корней x₁,…,xₙ это e₁ = Σxᵢ, e₂ = Σxᵢxⱼ при i < j и так далее. Через эти выражения удобно записывать коэффициенты и преобразовывать симметричные выражения.

Как это устроено

Пусть многочлен с корнями x₁,…,xₙ записан как произведение линейных множителей: (x − x₁)(x − x₂)…(x − xₙ). Чтобы получить слагаемое при xⁿ⁻¹, из одного множителя выбирают корень, а из остальных — x; поэтому получается сумма корней со знаком минус. Для следующей степени нужно выбрать уже два корня, и их произведения входят со знаком плюс. Так раскрытие скобок даёт суммы произведений корней и объясняет их связь с коэффициентами.

Для второй степени раскрытие (x − x₁)(x − x₂) даёт x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Сравнение с x² + px + q показывает: сумма корней равна −p, а произведение равно q. Минус у суммы возникает из выбора одного слагаемого −xᵢ, а у произведения двух корней минусы перемножаются и дают плюс. В степени n выбор k корней даёт знак (−1)ᵏ и приводит к общей формуле Виета.

Элементарные симметрические многочлены позволяют переводить симметричное выражение в удобную форму. Теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно выразить через e₁,…,eₙ. Причина практической пользы в том, что значения eₖ уже связаны с коэффициентами уравнения формулами Виета. Значит, для симметричного выражения порядок корней выбирать не требуется: важны только их общие симметричные сочетания.

Например, если известно симметричное выражение от трёх корней, сначала стоит сгруппировать его слагаемые так, чтобы появились e₁, e₂ или e₃. Затем эти величины заменяют коэффициентами по Виету. Такой порядок действий избавляет от поиска каждого корня по отдельности, который может быть сложным или вовсе не нужным для ответа. Особенно удобно это для сумм произведений и выражений, одинаковых при перестановке корней.

Формулы в их обычной записи относятся к приведённому многочлену. Если уравнение имеет вид Aₙxⁿ + Aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + A₀ = 0, где Aₙ ≠ 1, разделите обе части на Aₙ. Тогда коэффициент при xⁿ станет равен единице, а остальные коэффициенты — Aᵢ/Aₙ; уже их подставляют в формулы Виета. Деление важно, потому что без него коэффициенты связаны с eₖ не напрямую, а с множителем Aₙ.

Элементарные симметрические многочлены и коэффициенты многочлена

В таблице указаны коэффициенты приведённого многочлена. Чтобы ею пользоваться, сопоставьте номер k с нужной степенью: коэффициент при xⁿ⁻ᵏ связан с eₖ. Знак определяется чётностью k, а в последней строке речь идёт о свободном члене.

Разбор задач

Сумма и произведение корней уравнения 2x² − 7x + 3 = 0

Нужно найти две характеристики корней, не вычисляя их по формуле квадратного уравнения. Старший коэффициент здесь равен 2, поэтому сначала сделаем уравнение приведённым. Затем применим формулы для суммы и произведения корней.

1. Разделим каждый член уравнения на 2. Получим x² − 7/2x + 3/2 = 0.

2. Сравним с x² + px + q = 0: p = −7/2, q = 3/2. По Виету сумма корней равна −p = 7/2, а произведение равно q = 3/2.

Ответ: сумма корней равна 7/2, произведение — 3/2.

Уравнение с корнями −1, 2 и 4

Чтобы составить приведённое кубическое уравнение, используем его корни в произведении (x + 1)(x − 2)(x − 4). Можно раскрыть скобки напрямую, но суммы e₁, e₂ и e₃ сразу показывают и коэффициенты, и нужные знаки. Поэтому сначала вычислим эти симметрические выражения.

1. Сумма корней e₁ = −1 + 2 + 4 = 5. Сумма попарных произведений e₂ = (−1)·2 + (−1)·4 + 2·4 = −2 − 4 + 8 = 2.

2. Произведение всех корней e₃ = (−1)·2·4 = −8. Для кубического уравнения коэффициенты равны −e₁, e₂ и −e₃, поэтому получаем x³ − 5x² + 2x + 8 = 0.

Ответ: x³ − 5x² + 2x + 8 = 0.

Симметричное выражение от корней кубического уравнения

Пусть корни уравнения x³ − 5x² + 6x − 1 = 0 — a, b и c. Требуется найти a²b + a²c + b²a + b²c + c²a + c²b без нахождения корней. В каждом слагаемом один корень стоит в квадрате, а другой — в первой степени; сгруппируем выражение по этим парам.

1. Перемножим сумму корней на сумму попарных произведений: (a + b + c)(ab + ac + bc). При раскрытии получаются все шесть нужных слагаемых, а также три слагаемых a²b? Нет, произведения с повторённым множителем здесь имеют вид a²b, a²c и аналогичные; значит, такое произведение как раз равно заданной сумме.

2. Проверим раскрытие: произведение содержит a²b, a²c, ab², b²c, ac² и bc² — это те же шесть слагаемых из условия. Следовательно, искомое выражение равно e₁e₂.

3. По Виету для данного уравнения e₁ = 5, e₂ = 6. Тогда e₁e₂ = 5·6 = 30.

Ответ: 30.

Типичные ошибки

Подставлять коэффициенты неприведённого многочлена напрямую. Так делают, потому что формулы квадратного уравнения часто запоминают только для записи x² + px + q = 0. Но если старший коэффициент не равен 1, остальные коэффициенты нужно сначала разделить на него. Проверьте себя: после преобразования коэффициент при старшей степени должен стать равным 1.

Путать знаки в формулах. Минус у суммы корней и чередование знаков в общей формуле могут смешаться при механическом запоминании. Они возникают из раскрытия множителей x − xᵢ: выбор k корней даёт знак (−1)ᵏ. Для проверки раскройте случай второй степени и сопоставьте коэффициенты.

Считать, что симметрический многочлен не зависит от значений переменных. Ошибка появляется из-за слова «симметрический», которое можно ошибочно связать с неизменностью выражения вообще. На самом деле неизменным остаётся только результат перестановки переменных, а при изменении их значений результат обычно меняется. Подставьте, например, разные значения a и b и сравните с перестановкой этих же значений.

Называть любой симметричный многочлен элементарным. Элементарные многочлены — лишь специальные выражения e₁,…,eₙ, а остальные симметричные многочлены составляются иначе. Путаница возникает потому, что и те и другие сохраняют значение при перестановке переменных. Проверьте вид выражения: оно элементарное, только если имеет форму суммы произведений переменных по одному фиксированному числу переменных.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны разложение многочлена на множители, раскрытие скобок и правила действий с многочленами: именно при раскрытии произведения возникают формулы Виета. Они продолжают изучение квадратных уравнений и связи корней с коэффициентами, знакомой по сумме и произведению корней. В дальнейшем теорема помогает решать уравнения и находить симметричные комбинации корней через коэффициенты, даже если сами корни вычислять неудобно.

Что запомнить

• Для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна коэффициенту при x со знаком минус, а произведение — свободному члену.
• Для многочлена степени n коэффициент при xⁿ⁻ᵏ равен (−1)ᵏeₖ.
• Произведение всех корней связано со свободным членом множителем (−1)ⁿ.
• Формулы Виета применяют напрямую к приведённому многочлену.
• Симметрический многочлен не меняется при перестановке переменных.
• Любой симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические многочлены.