§ 23. Способы задания функции. График функции. Некоторые элементарные функции

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому значению x из области определения соответствует единственное значение y. Иначе говоря, нельзя выбрать одно и то же допустимое x и получить для него два разных результата. Это условие помогает отличить функцию от других зависимостей.

Способ задания функции — форма описания зависимости: словесная, табличная, формульная или графическая. Словами можно описать правило, таблицей — показать отдельные пары значений, а формулой — записать общий расчёт. Выбор способа зависит от того, какую информацию удобнее получить.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. Каждая точка графика показывает, какое значение принимает функция при данном аргументе. По графику можно увидеть поведение функции сразу на целом промежутке.

Элементарная функция — функция, получаемая из основных функций с помощью известных формул и преобразований. Например, график y = (x − 2)² − 3 получается из графика y = x² сдвигами. Знание базовых функций позволяет строить новые графики, не начиная каждый раз с нуля.

Как это устроено

Одному значению аргумента соответствует только одно значение функции, потому что функция задаёт однозначное правило. Если при одинаковом x получаются разные y, по заданной зависимости нельзя однозначно определить результат. Например, правило «сопоставить числу его квадраты» не даёт двух ответов, а отношение «число и его квадратный корень» без уточнения может дать два значения для положительного числа.

Одну зависимость можно представить разными способами, поскольку каждый из них передаёт одну и ту же связь между x и y. Словесное описание объясняет правило, таблица показывает выбранные пары, формула позволяет вычислять значения, а график помогает увидеть общую картину. Способы дополняют друг друга: таблица помогает построению, а формула — проверке точек графика.

Область определения и множество значений показывают, какие входные данные допустимы и какие результаты возможны. По формуле область определения находят, учитывая ограничения операций; по таблице берут перечисленные x и y; по графику рассматривают проекции его точек на оси. Область определения читают по горизонтальной оси, а множество значений — по вертикальной.

Вертикальная прямая не может пересекать график функции более чем в одной точке, так как на одной вертикали координата x постоянна. Две точки пересечения означали бы, что этому x соответствуют два значения y. Поэтому проверка вертикальной прямой позволяет определить по рисунку, задана ли функция.

Новые графики получают преобразованиями базовых графиков, потому что формула изменяет координаты их точек по понятному правилу. Добавление числа к функции сдвигает график вверх или вниз, а изменение выражения с x может сдвинуть его влево или вправо. Множитель перед функцией растягивает или сжимает график по вертикали; знак минус отражает его относительно оси.

Основные элементарные функции и их характеристики

Сравнивайте функции по области определения, множеству значений, нулям, чётности и монотонности. Для линейной функции характеристики зависят от коэффициентов, поэтому в таблице указаны условия для обычного случая k ≠ 0. Обозначения ℝ, [0; +∞) и (−∞; +∞) задают числовые множества и промежутки.

Разбор задач

По таблице значений x: −2, −1, 0, 1, 2 и y: −5, −3, −1, 1, 3 определите формулу функции и постройте её график. Нужно выяснить, как меняется y при одинаковом увеличении x, а затем записать прямую. Построение проверит, согласуются ли найденная формула и все пары из таблицы.

1. При каждом увеличении x на 1 значение y возрастает на 2: −3 − (−5) = 2, −1 − (−3) = 2 и так далее. Постоянное приращение указывает на линейную зависимость y = kx + b, причём k = 2. При x = 0 таблица даёт y = −1, значит b = −1.

2. Получаем формулу y = 2x − 1. Проверим, например, x = 2: 2 · 2 − 1 = 3, что совпадает с таблицей. Остальные значения также дают −5, −3, −1 и 1.

3. На координатной плоскости отметьте точки (−2; −5), (−1; −3), (0; −1), (1; 1), (2; 3). Они лежат на одной прямой, поэтому проведите через них прямую линию. Ответ: y = 2x − 1; график — прямая, проходящая через указанные точки.

Для функции y = (x − 2)² − 3 найдите область определения, множество значений, нули, промежутки убывания и возрастания, затем постройте график. Формула содержит квадрат выражения, поэтому удобно сравнить её с базовой параболой y = x². Сначала определим, куда перемещается вершина, а затем прочитаем свойства преобразованного графика.

1. Квадрат определён при любом действительном x, поэтому область определения — ℝ. График y = x² сдвинут на 2 вправо и на 3 вниз; его вершина находится в точке (2; −3). Поскольку ветви направлены вверх, наименьшее значение равно −3.

2. Значит, множество значений — [−3; +∞). Нули найдём из уравнения (x − 2)² − 3 = 0: (x − 2)² = 3, поэтому x = 2 − √3 или x = 2 + √3. Это точки пересечения графика с осью x.

3. До вершины парабола убывает, после вершины возрастает: убывание на (−∞; 2], возрастание на [2; +∞). Для построения отметьте вершину (2; −3), нули и симметричные точки, например (1; −2) и (3; −2). Ответ: D = ℝ, E = [−3; +∞), нули 2 ± √3, график — парабола с ветвями вверх.

По графику кусочно заданной функции определите область определения, множество значений, нули, значения функции в заданных точках и интервалы монотонности. При чтении нужно учитывать не только положение линий, но и то, включены ли концы каждого участка. Закрашенная точка принадлежит графику, незакрашенная — нет.

1. Для области определения найдите все x, над которыми есть точки графика, и объедините полученные промежутки. Закрашенный конец включают квадратной скобкой, незакрашенный — круглой; отдельно проверьте, нет ли разрыва или исключённого значения. Так же по вертикальной оси определяют множество значений.

2. Нули — это абсциссы точек пересечения графика с осью x. Чтобы найти f(a), проведите от x = a вертикаль до графика, а затем считайте координату y точки пересечения. Если точка на конце незакрашена, её значение не принимают.

3. На участке, где график поднимается слева направо, функция возрастает; где опускается — убывает; где идёт горизонтально — постоянна. Укажите промежутки по оси x, соблюдая включённость концов и разделяя участки в точках смены поведения. Численные ответ и интервалы зависят от конкретного графика.

Типичные ошибки

Считать функцией любую зависимость — значит не проверить однозначность. Эту ошибку допускают, когда видят связь между x и y, но не выясняют, может ли одному x соответствовать несколько y. Проверьте пары значений или примените вертикальную прямую к графику.

В область определения иногда включают значения, при которых формула не имеет смысла. Обычно забывают, что знаменатель не может быть нулём, а подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. Подставьте подозрительные значения в исходную формулу и проверьте, выполняются ли все ограничения.

Область определения и множество значений — разные множества: первое состоит из x, второе — из y. Их путают, потому что обе характеристики описывают допустимые значения функции. Сверяйтесь с осями: область определения читают по горизонтальной, множество значений — по вертикальной.

График нельзя надёжно построить только по нескольким точкам без проверки масштаба и формы. Точки могут оказаться расставлены неверно, а линия между ними — не отражать поведение функции на промежутке. Проверьте масштаб по делениям, свойства известного графика и дополнительные точки; для разрывных функций не соединяйте ветви через исключённое значение.

Связь с другими темами

Для чтения графиков нужны навыки работы с координатной плоскостью, интервалами, таблицами и преобразованиями выражений. Область определения, нули и монотонность становятся инструментами исследования функций: с их помощью описывают поведение графика и находят важные точки. Элементарные графики помогают решать уравнения и неравенства, задачи с параметрами и изучать производную. Поэтому уверенное чтение графика пригодится в последующих темах алгебры.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие единственное значение y.
• График функции состоит из точек (x; f(x)).
• Область определения — допустимые значения аргумента, множество значений — получаемые значения функции.
• График функции не пересекается с одной вертикальной прямой более одного раза.
• Формула функции сразу задаёт зависимость, но ограничения на x нужно проверять отдельно.
• Графики новых функций получают из базовых графиков с помощью преобразований.
• Табличный, формульный, словесный и графический способы могут задавать одну и ту же функцию.