"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Свойства функции помогают описать её поведение, не ограничиваясь отдельными вычислениями. По ним определяют, где функция возрастает или убывает, какие значения она может принимать, есть ли у графика симметрия и повторяется ли он. Эти сведения нужны для исследования графиков, поиска наибольших и наименьших значений, а также для решения уравнений и неравенств. Главное — учитывать область определения и проверять свойства на всём указанном промежутке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Монотонность функции — её возрастание или убывание на заданном промежутке. Функция возрастает, если большему аргументу соответствует большее значение, и убывает, если большему аргументу соответствует меньшее. Это свойство позволяет описать направление изменения функции и разделить область определения на участки с разным поведением.
Ограниченность функции означает, что все её значения находятся между постоянными границами. Если существует число M, для которого f(x) ≤ M при всех допустимых x, функция ограничена сверху; если существует m и f(x) ≥ m, она ограничена снизу. Так можно понять, насколько далеко вверх или вниз простираются значения функции.
Чётность и нечётность определяются сравнением значений f(x) и f(−x). Функция чётная, если f(−x) = f(x), а нечётная — если f(−x) = −f(x), причём область определения должна быть симметрична относительно нуля. Эти равенства помогают распознать симметрию графика и иногда упрощают исследование функции.
Периодичность — повторяемость значений функции через некоторое ненулевое число T. Если f(x + T) = f(x) для всех допустимых x, число T называется периодом функции. Периодичность показывает, что график повторяет свой вид, и позволяет изучать его поведение на одном отрезке вместо всей области определения.
Чтобы проверить возрастание, берут любые два аргумента x₁ и x₂ из рассматриваемого промежутка и сравнивают их значения: при x₁ < x₂ должно получиться f(x₁) < f(x₂). Для убывания знак сравнения значений меняется на противоположный. Проверять нужно именно любые пары аргументов, потому что отдельные вычисления не доказывают поведение функции на всём промежутке.
Для исследования ограниченности ищут числа, которые служат верхней или нижней границей сразу для всех значений функции. Это необходимо, потому что по нескольким точкам нельзя заключить, насколько далеко могут уходить значения на всей области определения. Ограниченность сверху и снизу проверяют отдельно: функция может иметь только одну из этих границ или обе. При этом граница не обязана быть значением функции.
Чётность и нечётность проверяют только после исследования области определения. Если вместе с x функция не определена при −x, сравнить f(x) и f(−x) для всех аргументов невозможно. Равенство f(−x) = f(x) означает, что точкам графика соответствуют зеркальные точки относительно оси Oy; равенство f(−x) = −f(x) задаёт симметрию относительно начала координат.
Период T должен сохранять значения функции при каждом сдвиге аргумента на T, а не только в нескольких выбранных точках. Иначе совпадения могли бы быть случайными и не означали бы повторения всей функции. Поэтому проверяют тождественное равенство f(x + T) = f(x) на всех аргументах, для которых обе части определены. Если T — период, то его целые ненулевые кратные также являются периодами.
Промежутки монотонности помогают находить экстремумы — точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума. Если функция сначала убывает, а затем возрастает, точка перехода может быть точкой минимума; обратная смена направлений может указывать на максимум. Наибольшее или наименьшее значение на промежутке ищут среди значений в точках экстремума и на границах, если эти границы входят в промежуток. Например, открытая граница может быть пределом значений, но не точкой, где значение достигается.
График периодической и ограниченной функции y = sin x
| Свойство | Определение или признак | Графический смысл | Пример |
|---|---|---|---|
| Возрастание | Если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂). | При движении слева направо график поднимается. | y = x на ℝ. |
| Убывание | Если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂). | При движении слева направо график опускается. | y = −x на ℝ. |
| Ограниченность сверху и снизу | Есть числа M и m, для которых m ≤ f(x) ≤ M. | График лежит в полосе между горизонтальными прямыми. | −1 ≤ sin x ≤ 1. |
| Наибольшее и наименьшее значения | Функция достигает соответственно наибольшего или наименьшего значения на промежутке. | Самая высокая или низкая точка графика на рассматриваемой части. | У y = x² на ℝ минимум равен 0. |
| Чётность | Область определения симметрична относительно нуля; f(−x) = f(x). | Симметрия относительно оси Oy. | y = x². |
| Нечётность | Область определения симметрична относительно нуля; f(−x) = −f(x). | Симметрия относительно начала координат. | y = x³. |
| Периодичность | Существует T ≠ 0, для которого f(x + T) = f(x). | Одинаковые части графика повторяются через равные промежутки. | y = sin x, T = 2π. |
Сначала установи область определения и промежуток, на котором исследуется функция, затем проверь подходящий признак. В графическом столбце описано, как свойство выглядит, а примеры помогают сверить результат. Не путай ограниченность с достижением наибольшего или наименьшего значения.
Исследуем функцию y = x² − 4x + 3. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх, поэтому вершина задаёт точку перехода от убывания к возрастанию. Найдём координату вершины и запишем функцию в виде, из которого сразу виден минимум.
Ответ: функция убывает на (−∞; 2] и возрастает на [2; +∞). В точке x = 2 достигается наименьшее значение −1; наибольшего значения на ℝ нет, поскольку ветви параболы направлены вверх.
Рассмотрим f(x) = (x² − 1)/(x² + 1). Сначала проверим область определения: знаменатель x² + 1 положителен при любом действительном x, поэтому функция определена на всей ℝ. Теперь можно сравнить f(−x) с f(x), а затем преобразовать выражение так, чтобы увидеть границы значений.
Ответ: функция чётная, ограничена снизу числом −1 и сверху числом 1. Её наименьшее значение равно −1, наибольшего значения нет. Замкнутая верхняя граница в оценке не означает, что функция обязательно принимает это значение.
Найдём период и крайние значения функции y = sin 2x + cos 2x. В обоих слагаемых аргумент меняется одинаково, поэтому сумму можно представить одной синусоидой. Такой вид сразу показывает амплитуду, а по коэффициенту при x в аргументе определяется период.
Ответ: основной период равен π, наибольшее значение — √2, наименьшее — −√2. Сдвиг аргумента на π увеличивает аргумент синуса на 2π, поэтому вся функция повторяет значения.
Указывают возрастание или убывание без промежутка. Так происходит, когда по нескольким точкам делают вывод обо всей функции и забывают, что направление может измениться, например, в вершине параболы. Для проверки раздели область определения в точках возможной смены поведения и запиши каждый промежуток отдельно.
При проверке чётности вычисляют f(−x), но не сравнивают результат с f(x) и −f(x). Само по себе новое выражение ещё не показывает, чётная функция или нечётная. Упростив f(−x), проверь оба равенства и предварительно убедись, что область определения симметрична относительно нуля.
Называют периодом число, для которого равенство проверено лишь в отдельных точках. Совпадение нескольких значений может быть случайным и не доказывает повторяемость графика. Подставь x + T в формулу и установи, что f(x + T) = f(x) для всех допустимых x.
Считают, что ограниченная функция обязательно имеет наибольшее или наименьшее значение. Путаница возникает потому, что границу значений принимают за значение, достигаемое функцией. Проверь, существует ли аргумент, при котором функция действительно равна границе; если такого аргумента нет, экстремума может не быть.
Для изучения свойств функции понадобятся область определения, способы задания функции, чтение графиков и свойства элементарных функций. Эти знания помогают правильно выбрать промежуток и понять, какие значения допустимы. Свойства функций используют при построении и исследовании графиков, поиске экстремумов, а также при решении уравнений и неравенств.
В дальнейшем те же приёмы пригодятся для тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Монотонность особенно важна при изучении производной: с её помощью описывают поведение функции и находят экстремумы. Периодичность и симметрия помогают сокращать вычисления и использовать повторение графика.
Может ли функция быть одновременно ограниченной и не иметь наибольшего значения?
Да. Например, функция f(x) = x на промежутке (0; 1) ограничена сверху числом 1 и снизу числом 0, но ни одного из этих значений не принимает. Поэтому наибольшего и наименьшего значения у неё нет.
Как быстро определить по графику, где функция возрастает и где убывает?
Проследи за графиком слева направо. Если он поднимается, функция возрастает, а если опускается — убывает. Укажи промежутки по значениям аргумента, на которых это направление не меняется.
Почему для проверки чётности нужна симметричная относительно нуля область определения?
Чтобы сравнить f(x) и f(−x), оба значения должны быть определены. Значит, вместе с каждым числом x в области определения должно быть и число −x. Если это условие не выполнено, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Может ли у периодической функции быть несколько периодов?
Да. Если T — период, то обычно и 2T, 3T и другие целые кратные T тоже являются периодами. У некоторых функций есть и периоды, не являющиеся целыми кратными друг друга.
Как отличить наименьший положительный период от любого периода?
Любой положительный период повторяет значения функции, но наименьший положительный — самый маленький среди таких чисел. Чтобы его найти, недостаточно проверить одно значение: равенство f(x + T) = f(x) должно выполняться для всех x из области определения.
§ 24. Некоторые свойства функций
