"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Графики помогают увидеть, где значения двух выражений совпадают и на каких промежутках одно больше другого. Поэтому уравнение можно решить, найдя абсциссы точек пересечения графиков, а неравенство — сравнив их положение. Особенно наглядно с помощью графика функции y = f(x) определять число корней уравнения f(x) = a: корни соответствуют пересечениям с горизонтальной прямой y = a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Графическое решение уравнения — нахождение его корней по точкам пересечения графиков, построенных для обеих частей уравнения. Например, для f(x) = g(x) строят y = f(x) и y = g(x). Такой способ помогает увидеть решения, даже если алгебраические преобразования сложны.
Графическое решение неравенства — определение промежутков, на которых график левой части расположен выше или ниже графика правой части. Сравнивают именно высоту графиков при одном и том же x. Это позволяет перевести знак неравенства в наглядный выбор участков оси x.
Корень уравнения f(x) = a — значение x, при котором значение функции f равно a; графически это абсцисса пересечения графика y = f(x) с прямой y = a. Ордината такой точки равна a, а корнем является её x-координата. Это различие помогает правильно прочитать ответ с чертежа.
Число корней уравнения f(x) = a — количество точек пересечения графика y = f(x) с горизонтальной прямой y = a. Каждая такая точка даёт одно значение x, удовлетворяющее уравнению. Поэтому подсчёт пересечений сразу показывает, сколько корней имеет уравнение.
Чтобы решить уравнение f(x) = g(x) графически, строят графики y = f(x) и y = g(x), а затем находят абсциссы их общих точек. В точке пересечения у графиков совпадают и x, и значение y, поэтому при этом x значения f(x) и g(x) равны. Именно равенство значений и требуется в исходном уравнении. Если графики не пересекаются, действительных корней нет.
Если уравнение записано в виде f(x) = a, вместо второго графика достаточно провести горизонтальную прямую y = a. Она показывает все точки, у которых ордината равна заданному числу. Там, где прямая встречается с графиком функции, значение функции и есть a. Поэтому корнями становятся абсциссы этих пересечений.
В неравенстве f(x) > g(x) подходят значения x, для которых y = f(x) выше y = g(x). При одном и том же x высота графика соответствует значению функции, так что верхний график имеет большее значение. Для f(x) < g(x) выбирают участки, где график первой функции ниже. При смене знака на ≥ или ≤ сравнение сохраняется, но равенство на границе тоже допускается.
Точки пересечения разделяют числовую прямую на промежутки, внутри которых взаимное положение графиков не меняется. Поэтому сначала находят эти точки, а затем проверяют, какой график выше хотя бы в одном месте каждого промежутка. Сама точка равенства является границей решения. Включать её или нет нужно решать по знаку неравенства и проверке области определения.
Количество корней f(x) = a зависит от того, сколько раз горизонтальная прямая y = a пересекает график функции. Если менять a, прямая перемещается вверх или вниз, не меняя наклона. На некоторых уровнях она может коснуться графика, пройти через его поворот или оказаться вне его диапазона значений. Поэтому при разных a число пересечений и корней может быть разным.
| Запись | Графическое представление | Что считать или выбирать |
|---|---|---|
| f(x) = g(x) | Графики y = f(x) и y = g(x) | Абсциссы общих точек графиков |
| f(x) = a | График y = f(x) и прямая y = a | Абсциссы точек пересечения |
| f(x) > g(x) | Графики y = f(x) и y = g(x) | Промежутки, где график f выше графика g |
| f(x) < g(x) | Графики y = f(x) и y = g(x) | Промежутки, где график f ниже графика g |
| f(x) ≥ g(x) или f(x) ≤ g(x) | Графики y = f(x) и y = g(x) | Подходящие промежутки и точки равенства |
| Число корней f(x) = a | График y = f(x) и горизонтальная прямая y = a | Количество точек пересечения |
Сначала выберите строку с нужной записью, затем постройте указанные графики или мысленно представьте их. Для неравенства проверьте, какой график выше на каждом промежутке, а для уравнения подсчитайте пересечения. У граничных точек отдельно проверьте, допускает ли их знак неравенства.
Нужно найти значения x, при которых парабола y = x² и прямая y = 2x + 3 имеют одинаковую высоту. Их пересечения дают решения исходного равенства. В этом примере координаты пересечений можно определить точно, проверив точки на графиках.
Постройте параболу y = x² с вершиной в точке (0; 0) и прямую y = 2x + 3. Для прямой достаточно отметить, например, точки (0; 3) и (1; 5). Это задаёт оба графика.
Найдите точки их пересечения. Видно, что при x = −1 обе функции принимают значение 1, а при x = 3 — значение 9. Следовательно, общие точки имеют абсциссы −1 и 3.
Запишите абсциссы, а не ординаты пересечений. Проверка подстановкой подтверждает результат: (−1)² = 2 · (−1) + 3 = 1, а 3² = 2 · 3 + 3 = 9.
Ответ: x = −1; x = 3.
Используем ту же пару графиков, что и в предыдущей задаче: y = x² и y = 2x + 3. Граница смены взаимного положения графиков проходит через найденные пересечения x = −1 и x = 3. Между ними нужно выяснить, какой график расположен выше.
Разделите числовую прямую точками −1 и 3 на три промежутка. Для проверки среднего промежутка возьмите x = 0: парабола даёт 0, а прямая — 3. Значит, здесь график параболы ниже прямой, и неравенство выполняется.
На крайних промежутках парабола расположена выше прямой: её ветви направлены вверх, а точки пересечения уже ограничивают область, где она ниже. Например, при x = 4 получаем 16 и 11, поэтому правый промежуток не подходит. Аналогично при x = −2 получаем 4 и −1.
Неравенство строгое, поэтому точки равенства x = −1 и x = 3 не включаются. Запишите решение открытым промежутком между границами.
Ответ: −1 < x < 3.
График y = |x| имеет форму буквы V, его вершина находится в начале координат, а все значения функции неотрицательны. Уравнение требует, чтобы высота графика была равна a. Поэтому рассматриваем горизонтальную прямую y = a и отдельно анализируем её положение при разных значениях параметра.
Если a < 0, прямая y = a лежит ниже оси x. График y = |x| находится на оси или выше неё, поэтому пересечений нет. Уравнение не имеет корней.
Если a = 0, прямая совпадает с осью x и касается графика y = |x| в вершине (0; 0). Есть одна точка пересечения, её абсцисса равна нулю. Значит, корень один.
Если a > 0, горизонтальная прямая пересекает обе ветви V-образного графика. Возникают две точки с абсциссами −a и a, поэтому корней два.
Ответ: при a < 0 корней нет; при a = 0 один корень; при a > 0 два корня.
Первая ошибка — записывать ординаты точек пересечения вместо абсцисс. Её допускают, потому что точка на графике имеет две координаты, но корень уравнения задаёт именно x. Для проверки подставьте найденное число в исходное уравнение: значение y само по себе не является ответом.
Вторая ошибка — считать любое пересечение допустимым корнем, не проверяя область определения. Например, график может быть построен для выражения, которое не определено при некоторых x, или преобразование могло добавить лишние значения. Сверьте каждую абсциссу с областью определения исходного уравнения и, если нужно, подставьте её в исходную запись.
Третья ошибка — выбрать неверный промежуток решения неравенства. Положение графиков меняется по разные стороны от пересечений, поэтому нельзя ориентироваться только на общий вид рисунка. Возьмите по одному пробному x на каждом промежутке и сравните значения функций, подставив его в неравенство.
Четвёртая ошибка — неправильно включить граничные точки. При строгом знаке > или < равенство не подходит, а при ≥ или ≤ подходит, если точка принадлежит области определения. Проверьте знак неравенства и отдельно подставьте граничное значение в обе части.
Для графического решения нужно уметь строить и читать графики функций, а также находить их области определения и значения. Сравнение графиков опирается на знания об уравнениях и неравенствах, а ответ удобно записывать промежутками на числовой прямой. Эти навыки помогают исследовать уравнения с параметрами: меняя параметр, можно оценить число пересечений и корней. График также подсказывает, какие значения стоит проверить аналитически.
Почему корнями уравнения считаются абсциссы точек пересечения, а не их ординаты?
Корень уравнения — это значение x, при котором равенство верно. Точка графика имеет координаты (x; y), поэтому искомому значению соответствует её абсцисса. Ордината показывает значение функции, а не корень.
Как по графикам определить решение неравенства?
Найдите промежутки между точками пересечения графиков и сравните графики на каждом из них. Для f(x) > g(x) подходят те x, где график y = f(x) расположен выше графика y = g(x); для обратного знака выбирайте области, где он ниже.
Когда граничные точки входят в решение неравенства?
Если в точке границы значения сравниваемых функций равны, то для строгого неравенства эта точка не подходит. При знаке ≥ или ≤ равенство допустимо, поэтому граничную точку включают, если она входит в область определения.
Почему при графическом решении может получиться только приближённый ответ?
Точки пересечения часто приходится считывать с чертежа, точность которого ограничена масштабом и толщиной линий. Поэтому полученные координаты могут быть приближёнными. Если нужны точные значения, корни проверяют или находят аналитически.
Как определить число корней уравнения f(x) = a при изменении a?
На одном чертеже представьте график y = f(x) и горизонтальную прямую y = a. Число корней равно числу точек их пересечения. Изменение a перемещает прямую вверх или вниз, и количество пересечений может меняться.
§ 25. Графическое решение уравнений и неравенств. Количество корней уравнения f(x) = а
