"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Композиция позволяет объединить два действия в одну функцию: сначала вычисляют значение внутренней функции, затем подставляют его во внешнюю. Обратная функция выполняет действие в обратном направлении и восстанавливает исходный аргумент. Эти понятия помогают строить сложные формулы, исследовать графики и решать уравнения. Для композиции важно проверить область определения каждого шага, а для обратной функции — убедиться, что значения исходной функции однозначно определяют аргумент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Композиция функций — функция, полученная последовательным применением двух функций: сначала g, затем f; её обозначают (f∘g)(x) = f(g(x)). Запись показывает, что результат g(x) становится аргументом функции f. Такое обозначение помогает собрать несколько действий в одну формулу и не потерять их порядок.
Область определения композиции — множество всех x, для которых определена g(x), а значение g(x) принадлежит области определения f. Иначе говоря, должны быть допустимы оба шага вычисления. Проверка области нужна, чтобы не включить значения x, при которых выражение композиции не имеет смысла.
Обратная функция f⁻¹ — функция, которая по значению f(x) возвращает исходный аргумент x. Для неё выполняются равенства f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x на соответствующих областях определения. Это понятие позволяет «отменить» действие функции и, например, восстановить неизвестный аргумент по результату.
Взаимно обратные функции — функции, композиция которых в соответствующем порядке даёт тождественную функцию, то есть возвращает аргумент без изменения. Для таких функций f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x там, где обе композиции определены. Это определение удобно использовать для проверки найденной обратной функции.
Представьте, что над числом выполняют два действия: сначала прибавляют 1, потом возводят результат в квадрат. Если первое действие задаёт g, а второе — f, итог записывается как f(g(x)): аргумент сначала проходит через g, а уже затем через f. Поэтому порядок чтения вложенной записи идёт изнутри наружу. Перестановка функций меняет порядок действий, а значит, может изменить и результат; равенство f∘g = g∘f нужно доказывать отдельно.
Для композиции недостаточно, чтобы исходное x подходило только внутренней функции. Сначала должно иметь смысл g(x), а затем получившееся число должно подходить внешней функции f. Поэтому область определения задают сразу два условия: x ∈ D(g) и g(x) ∈ D(f). Например, если внешняя функция содержит квадратный корень, её аргумент не может быть отрицательным, даже когда внутренняя функция определена при всех x.
Чтобы вычислить композицию, в формулу внешней функции вместо аргумента подставляют всё выражение внутренней функции, заключая его в скобки. Затем упрощают получившуюся формулу и при необходимости отдельно находят её область определения. Проверить вычисления можно, подставив одно и то же допустимое число в исходную запись и в упрощённый результат. Если значения совпадают, это подтверждает вычисления для выбранного числа, но не заменяет алгебраического преобразования.
Обратная функция возможна не всегда: каждому значению f(x) должен соответствовать только один исходный x. Если разные аргументы дают один результат, по результату нельзя решить, какой аргумент был взят. Так, значения 2 и −2 оба переходят в 4 при возведении в квадрат. Ограничив область определения, например условием x ≥ 0, мы оставляем один допустимый аргумент для каждого значения и можем определить обратную функцию.
Чтобы найти обратную функцию, записывают y = f(x), затем меняют местами x и y и решают полученное уравнение относительно y. Полученное выражение задаёт f⁻¹(x), но нужно указать подходящие области определения и значений. При обмене x и y каждая точка графика (a, b) переходит в точку (b, a). Эти точки симметричны относительно прямой y = x, поэтому графики взаимно обратных функций являются отражениями друг друга относительно этой прямой.
| Характеристика | Композиция функций | Обратная функция |
|---|---|---|
| Обозначение | (f∘g)(x) = f(g(x)) | f⁻¹(x) |
| Как строится | Сначала вычисляют g, затем f | Меняют x и y местами и выражают y |
| Условие существования или определения | g(x) определена и g(x) ∈ D(f) | Каждому значению функции соответствует единственный аргумент |
| Область определения | x ∈ D(g) и g(x) ∈ D(f) | Множество значений исходной функции |
| Основное равенство | (f∘g)(x) = f(g(x)) | f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x |
| Связь графиков | Одна функция подставляется в другую | Графики симметричны относительно y = x |
Сначала сравните строки об условиях: для композиции проверяют допустимость двух последовательных шагов, а для обратной функции — однозначность восстановления аргумента. Затем пользуйтесь строкой с основным равенством, чтобы проверить запись или вычисленный результат. Последняя строка помогает представить связь обратных функций геометрически.
Даны f(x) = 2x − 3 и g(x) = x² + 1. Найдём обе композиции и сравним их. Важно отдельно подставить каждую функцию на место аргумента другой, потому что порядок действий может повлиять на ответ.
Для (f∘g)(x) сначала берём g(x) = x² + 1 и подставляем в формулу f. Получаем f(g(x)) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1.
Для (g∘f)(x) сначала используем f(x) = 2x − 3, а результат подставляем в g. Тогда g(f(x)) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10.
Сравним формулы: 2x² − 1 и 4x² − 12x + 10 не совпадают. Например, при x = 0 они равны −1 и 10, что подтверждает различие результатов.
Ответ: (f∘g)(x) = 2x² − 1, (g∘f)(x) = 4x² − 12x + 10; композиция в общем случае некоммутативна.
Найдём область определения h(x) = √(5 − 2x²), где f(u) = √u, а g(x) = 5 − 2x². Внутренняя функция g определена при всех действительных x, но этого ещё недостаточно. Квадратный корень внешней функции требует неотрицательного значения подкоренного выражения.
Проверяем внутреннюю функцию: многочлен 5 − 2x² определён для любого действительного x. Следовательно, ограничений со стороны D(g) нет.
Проверяем условие для внешней функции: g(x) ≥ 0. Получаем 5 − 2x² ≥ 0, откуда x² ≤ 5/2 и −√(5/2) ≤ x ≤ √(5/2).
Пересекаем условия двух шагов. Первое допускает все действительные числа, поэтому остаётся промежуток, полученный из условия неотрицательности подкоренного выражения.
Ответ: D(h) = [−√(5/2); √(5/2)].
Найдём функцию, обратную к f(x) = (x − 1)² при x ≥ 1, и проверим обе композиции. Ограничение x ≥ 1 существенно: оно оставляет только одну ветвь параболы и позволяет однозначно восстановить аргумент. Область значений исходной функции при этом — x ≥ 0.
Записываем y = (x − 1)² при x ≥ 1 и меняем местами обозначения: x = (y − 1)². Ограничение даёт y ≥ 1, поэтому при извлечении корня выбираем положительный знак.
Решаем относительно y: √x = y − 1, значит, y = 1 + √x. Аргумент обратной функции должен принадлежать множеству значений исходной, то есть x ≥ 0.
Проверяем первую композицию: f⁻¹(f(x)) = 1 + √((x − 1)²) = 1 + |x − 1| = x при x ≥ 1. Проверяем вторую: f(f⁻¹(x)) = ((1 + √x) − 1)² = x при x ≥ 0.
Ответ: f⁻¹(x) = 1 + √x при x ≥ 0.
Запись f(g(x)) иногда принимают за произведение и меняют порядок функций, записывая g(f(x)). Это происходит из-за сходства символа композиции с обозначениями обычных операций, хотя здесь речь о последовательном выполнении действий. Чтобы проверить себя, прочитайте запись изнутри наружу: сначала вычисляется то, что стоит в скобках. Если порядок изменён, формулы могут дать разные ответы.
При определении области композиции иногда проверяют только, что определена внутренняя функция. Тогда забывают условие g(x) ∈ D(f) и оставляют значения, при которых внешний шаг невозможен. Причина в том, что первая формула выглядит допустимой сама по себе. Проверяйте каждый шаг отдельно: сначала найдите D(g), затем потребуйте, чтобы результат g(x) подходил функции f.
Обратную функцию путают с выражением 1/f(x), поскольку слово «обратная» напоминает обратное число. Но 1/f(x) меняет значение функции на дробное, а f⁻¹ восстанавливает аргумент. Подставьте результат в исходную функцию: для обратной должно выполняться f(f⁻¹(x)) = x. Если получается дробь 1, а не аргумент x, найдено не то.
Иногда пытаются обратить функцию, которая не является взаимно однозначной на заданной области. Например, уравнение x² = 4 имеет два решения на всей числовой прямой, поэтому нельзя выбрать единственный аргумент без дополнительного условия. Ошибку предотвращает проверка: пересекает ли любая горизонтальная прямая график не более одного раза. Для квадратичной функции можно предварительно ограничить область одной ветвью, например x ≥ 0 или x ≥ 1.
Для работы с композицией и обратной функцией нужны понятия функции, области определения и множества значений. Также пригодятся подстановка выражений и умение решать уравнения относительно выбранной переменной. Эти навыки позволяют проверять допустимость действий и находить формулу обратной функции.
Композиция встречается при изучении сложных функций и преобразований графиков. Она лежит в основе правила дифференцирования сложной функции: производную внешней функции связывают с производной внутренней. Поэтому умение распознавать последовательность действий пригодится и в математическом анализе.
Обратные функции помогают определять показательные и логарифмические функции, обратные тригонометрические функции, а также решать уравнения. Идея одна: восстановить входное значение по результату действия. Для этого важно учитывать, на какой области обратная функция действительно существует.
Почему в записи f(g(x)) сначала выполняется g, а не f?
Сначала вычисляют выражение внутри скобок: g(x). Полученное значение подставляют вместо аргумента функции f, поэтому последней применяется именно f.
Всегда ли композиция двух функций существует?
Композицию можно задать, если для выбранного x определено g(x), а полученное значение входит в область определения f. Если подходящих x нет, область определения композиции пуста.
Чем обратная функция отличается от обратного числа 1/f(x)?
Обратная функция f⁻¹ восстанавливает аргумент по значению функции: f⁻¹(f(x)) = x. Выражение 1/f(x) — это обратное число к значению f(x), оно не возвращает исходный аргумент.
Почему у функции x² нет обратной функции на всей числовой прямой?
Например, значения x = 2 и x = −2 дают одинаковый результат: x² = 4. Поэтому по значению 4 нельзя однозначно восстановить аргумент; ограничив область, например условием x ≥ 0, мы получим обратную функцию √x.
Как по графику понять, существуют ли у функции обратная функция?
Проверьте, пересекает ли любая горизонтальная прямая график не более чем в одной точке. Если она пересекает его несколько раз, одному значению функции соответствуют разные аргументы и обратная функция на этой области не существует.
§ 26. Композиция функций. Обратная функция
