"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Элементарные преобразования позволяют строить графики новых функций по уже известному графику y = f(x). Сдвиги, растяжения, сжатия и отражения изменяют положение или масштаб графика, но сохраняют связь с исходной функцией. Главное — различать действия с аргументом x и со значением функции: они влияют соответственно на абсциссы и ординаты точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сдвиг графика по вертикали задаётся формулой y = f(x) + b. При b > 0 график поднимается на b единиц, а при b < 0 опускается на |b| единиц. Это нужно, когда все точки должны сохранить свои абсциссы, но получить одинаковую прибавку к ординатам.
Сдвиг графика по горизонтали задаётся формулой y = f(x − a). При a > 0 график перемещается вправо на a единиц, а при a < 0 — влево на |a| единиц. Такое преобразование меняет положение точек по оси Ox, не меняя их высот.
Растяжение и сжатие графика связаны с коэффициентом, умножающим функцию или аргумент. Множитель перед f(x) изменяет расстояния от точек до оси Ox, а множитель при x изменяет расстояния до оси Oy. Эти правила позволяют быстро менять масштаб графика без построения большого числа новых точек.
Отражение графика получается при замене f(x) на −f(x) или x на −x. В первом случае отражение происходит относительно оси Ox, во втором — относительно оси Oy. Понимание этих замен помогает учитывать знак коэффициента и не терять часть преобразования.
При добавлении числа b к значению функции каждая точка (x, f(x)) превращается в точку (x, f(x) + b). Абсцисса остаётся прежней, а ордината изменяется на одну и ту же величину. Поэтому форма графика не меняется: он целиком перемещается вверх или вниз параллельно оси Ox.
Рассмотрим f(x − a). Если старый аргумент равен t, то прежнее значение функции получается при условии x − a = t, то есть x = t + a. Значит, точка (t, f(t)) переходит в (t + a, f(t)), поэтому при положительном a график движется вправо. Именно поэтому направление сдвига противоположно знаку внутри скобок.
В формуле y = kf(x) меняются ординаты: точка (x, f(x)) переходит в (x, kf(x)). При |k| > 1 расстояние до оси Ox увеличивается, а при 0 < |k| < 1 уменьшается. Если k отрицательно, новая ордината имеет противоположный знак, поэтому к изменению масштаба добавляется отражение относительно Ox.
В формуле y = f(kx) нужно сохранить старое значение функции: если kx = t, то x = t/k. Следовательно, каждая исходная абсцисса умножается на 1/k, а расстояния до Oy — на 1/|k|. При |k| > 1 график сжимается к оси Oy, при 0 < |k| < 1 растягивается от неё, а отрицательный k меняет ещё и направление по горизонтали.
Если в формуле несколько преобразований, их удобно разделять на действия с аргументом и действия со значением функции. Сначала приводят аргумент к виду k(x − a), чтобы увидеть горизонтальный масштаб, отражение и сдвиг. Затем учитывают множитель перед функцией и свободное слагаемое, получая итоговое положение и форму графика.
Таблица показывает, какая часть формулы отвечает за каждое преобразование. В строках с коэффициентами нужно отдельно проверить его модуль и знак: модуль задаёт масштаб, а отрицательный знак добавляет отражение. Для сложной функции полезно сначала распознать изменения аргумента, а потом перейти к значениям функции.
| Формула | Преобразование | Направление или коэффициент |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | сдвиг по вертикали | на b единиц |
| y = f(x − a) | сдвиг по горизонтали | на a единиц |
| y = kf(x) | растяжение или сжатие по вертикали | коэффициент |k| |
| y = f(kx) | растяжение или сжатие по горизонтали | коэффициент 1/|k| |
| y = −f(x) | отражение относительно оси Ox | — |
| y = f(−x) | отражение относительно оси Oy | — |
Задача 1. Построить график y = (x − 2)² + 1, используя график y = x². Здесь исходная парабола узнаётся по выражению x², поэтому достаточно определить изменения внутри скобок и вне них.
Ответ: график y = x² сдвинут вправо на 2 и вверх на 1; его вершина — (2, 1).
Задача 2. Построить график y = −2|x + 1|. За основу берём график y = |x|, а затем читаем преобразования по очереди. Скобки x + 1 удобно представить как x − (−1).
Ответ: график y = |x| сдвинут влево на 1, растянут по вертикали в 2 раза и отражён относительно Ox.
Задача 3. По графику y = f(x) определить преобразования для построения y = ½f(−2x + 4) + 3. Сначала преобразуем аргумент: −2x + 4 = −2(x − 2), поэтому горизонтальные действия становятся понятными.
Ответ: отразить исходный график относительно Oy, сжать по горизонтали в 2 раза, сдвинуть вправо на 2, сжать по вертикали в 2 раза и поднять на 3.
Сдвиг y = f(x − a) влево при a > 0. Ошибка возникает из-за привычного восприятия знака внутри скобок. Проверяйте правило через точку: условие x − a = t даёт новую абсциссу t + a, значит, сдвиг идёт вправо.
Путаница между y = kf(x) и y = f(kx). В первом случае умножаются значения функции, во втором — аргумент. Чтобы не ошибиться, спросите себя, какая координата точки непосредственно умножается в формуле.
Название вертикального преобразования при |k| < 1. Иногда любое умножение называют растяжением, хотя ординаты становятся меньше и график сжимается к оси Ox. Проверка проста: сравните расстояние точки до оси до и после умножения.
Игнорирование отрицательного коэффициента. Ученик учитывает только изменение масштаба и забывает про смену знака координаты. Разделяйте коэффициент на модуль и знак: модуль отвечает за растяжение или сжатие, знак — за отражение.
Для применения преобразований нужно уметь строить графики основных функций и находить их область определения и множество значений. Эти навыки дают исходный график и позволяют проверять, какие свойства сохранились после изменения формулы.
Преобразования особенно полезны при построении графиков сложных функций, исследовании их свойств и решении уравнений и неравенств графическим способом. По преобразованному графику можно быстро определить нули функции, промежутки знакопостоянства и положение экстремумов.
Почему график y = f(x − 3) сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение f(x), аргумент новой функции должен быть равен старому: x − 3 = t, значит, x = t + 3. Поэтому каждая точка исходного графика перемещается вправо на 3 единицы.
Чем отличается y = 2f(x) от y = f(2x)?
В формуле y = 2f(x) удваиваются ординаты, поэтому график растягивается от оси Ox. В формуле y = f(2x) вдвое уменьшаются абсциссы точек, поэтому график сжимается к оси Oy.
Что происходит с графиком, если коэффициент растяжения отрицательный?
Помимо растяжения или сжатия, появляется отражение относительно соответствующей оси. Например, y = −2f(x) растягивает график по вертикали в 2 раза и отражает его относительно оси Ox.
Как построить график, если в формуле несколько преобразований?
Сначала упростите аргумент и определите преобразования по горизонтали, затем разберите множитель перед функцией и свободное слагаемое. После этого применяйте действия последовательно, отмечая, как меняются координаты точек.
Меняется ли область определения при сдвиге или растяжении графика?
Да, область определения может переместиться или изменить масштаб по оси Ox при преобразованиях аргумента. Вертикальные преобразования обычно не меняют область определения, но могут изменить множество значений функции.
§ 27. Элементарные преобразования графиков функций
