1. Понятие функции

Определения и обозначения

Функция — соответствие, при котором каждому значению x из заданного множества ставится в соответствие единственное значение y. Иными словами, правило функции не допускает выбора из двух разных результатов для одного аргумента. Это понятие позволяет точно описывать зависимости между величинами.

Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента x. Она показывает, какие числа можно подставлять в формулу без потери смысла выражения. Например, для дроби нельзя брать значения, обращающие знаменатель в ноль.

Множество значений функции — множество всех значений y, которые функция принимает на своей области определения. Оно отвечает на вопрос, какие результаты действительно могут получиться. Одно и то же число может входить в множество значений несколько раз при разных аргументах, но в множество его записывают один раз.

Аргумент — независимая переменная x, а значение функции f(x) — результат, полученный после применения правила функции к x. Запись f(a) означает значение функции при аргументе a, а не произведение f на a. Такое обозначение удобно для вычислений и записи точек графика.

Как это устроено

Однозначность функции означает, что одному аргументу нельзя сопоставить два разных результата. Если для x = 2 получаются и y = 5, и y = 7, единого значения функции при этом аргументе нет. При этом разные аргументы могут иметь один результат: например, 2 и −2 дают одинаковое значение для y = x².

Область определения находят по смыслу формулы, потому что не всякое числовое выражение существует. В дроби знаменатель должен быть отличен от нуля, а под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное выражение. Для логарифма требуется положительный аргумент, поэтому все такие ограничения объединяют и записывают ответ в виде множества или промежутка.

Чтобы найти значение функции при заданном аргументе, в формулу вместо x подставляют это число и выполняют вычисления. Если известно значение функции, то составляют уравнение f(x) = b и решают его, оставляя только допустимые корни. Например, для y = x² значение 9 соответствует аргументам x = −3 и x = 3, поэтому обратный поиск не всегда даёт единственный ответ.

Одну функцию можно представить разными способами, потому что формула, таблица, график и описание сообщают об одной и той же зависимости. Формула задаёт точное правило, таблица показывает отдельные пары значений, график изображает их на координатной плоскости, а словесное описание объясняет связь словами. Выбор способа зависит от задачи: для вычислений удобна формула, а для наблюдения за изменением величин — график.

График функции проходит вертикальную проверку: каждая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Такая прямая фиксирует одно значение x, поэтому две точки пересечения означали бы два разных значения y для одного аргумента. Если хотя бы одна вертикальная прямая пересекает изображение дважды, перед нами не график функции y от x.

Способы задания функции и основные характеристики

Таблица помогает отделить входные данные функции от результата и выбрать подходящий способ работы. В строках с областью определения и множеством значений нужно перечислять множества, а в строках со способами задания — указывать, как именно записано правило. При решении задачи сначала определите, что требуется найти, затем обратитесь к соответствующей строке.

Разбор задач

Задача 1. Для функции f(x) = (x + 2)/(x − 3) найти область определения и вычислить f(5). Сначала проверим, при каких x дробь имеет смысл, а затем подставим нужный аргумент. Эти действия выполняются в указанном порядке, чтобы не использовать запрещённое значение.

1. Знаменатель не может быть равен нулю: x − 3 ≠ 0, поэтому x ≠ 3.
2. Область определения: D(f) = {x ∈ R | x ≠ 3}.
3. Подставим x = 5: f(5) = (5 + 2)/(5 − 3) = 7/2.

Ответ: D(f) = R ∖ {3}; f(5) = 7/2.

Задача 2. По таблице x: −2, 0, 3 и y: 5, 1, 1 определить, является ли соответствие функцией, и найти значение при x = 3. Для каждого аргумента в таблице указана одна клетка с результатом. Повторение значения y не нарушает определение функции.

1. Сопоставления имеют вид (−2; 5), (0; 1), (3; 1).
2. Каждому аргументу соответствует ровно одно значение, значит, это функция.
3. В строке с x = 3 указано y = 1, поэтому f(3) = 1.

Ответ: соответствие является функцией; f(3) = 1.

Задача 3. Дана функция y = x² − 4x + 3. Найти её нули, значение при x = 2 и проверить точку (5; 8). Нули — это аргументы, при которых значение функции равно нулю, поэтому нужно решить уравнение. Принадлежность точки проверяется подстановкой её первой координаты и сравнением результата со второй.

1. Решаем x² − 4x + 3 = 0: (x − 1)(x − 3) = 0, откуда x = 1 или x = 3.
2. Вычисляем f(2) = 2² − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
3. Проверяем точку: f(5) = 25 − 20 + 3 = 8. Полученное значение совпало со второй координатой, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: нули функции — 1 и 3; f(2) = −1; точка (5; 8) принадлежит графику.

Типичные ошибки

В область определения иногда записывают все числа, забывая ограничения формулы. Так происходит, когда ученик сразу смотрит на вид функции, а не проверяет знаменатели и корни. Проверьте отдельно знаменатель, подкоренное выражение и другие операции с ограничениями.

Аргумент x путают со значением функции f(x), воспринимая запись как умножение. Причина ошибки — незнакомое обозначение имени функции и результата её работы. Подставляйте число вместо x: если число стоит внутри скобок f( ), это аргумент, а вычисленный результат — значение функции.

Соответствие ошибочно называют функцией, когда одному аргументу поставлены два результата. Такое возможно при невнимательном чтении таблицы или схемы. Для проверки выпишите пары и убедитесь, что одинаковый первый элемент нигде не имеет разных вторых элементов.

Любую кривую на рисунке иногда считают графиком функции. Однако вертикальная прямая может пересечь такую кривую в двух точках, и тогда одному x соответствуют два y. Проведите несколько вертикальных линий, особенно через подозрительные участки, и примените этот тест.

Связь с другими темами

До изучения функции нужны навыки работы с числовыми выражениями, уравнениями и неравенствами. Координатная плоскость помогает изображать пары (x; y) и читать графики.

Понятие функции становится основой для линейных, квадратичных, степенных, показательных и тригонометрических функций. В каждой из этих тем сохраняются область определения, значения и правило соответствия.

Функции нужны при построении и исследовании графиков, изучении производной и решении прикладных задач. С их помощью описывают, например, зависимость пути от времени, стоимости от количества товара или температуры от времени.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают буквой x, а значение функции — f(x) или y.
• Область определения содержит допустимые значения аргумента.
• Множество значений содержит все результаты, которые принимает функция.
• Значение f(a) получают подстановкой a вместо x в формулу функции.
• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесно.