2. Прямая, гипербола, парабола и окружность

Определения и обозначения

Прямая — геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению y = kx + b или Ax + By + C = 0. Число k задаёт наклон, а b показывает пересечение с осью Oy. Такое уравнение позволяет строить график и находить пересечения прямой с другими фигурами.

Гипербола — кривая, задаваемая уравнением y = k/x или его преобразованиями. Коэффициент k влияет на растяжение и определяет, в каких четвертях расположены ветви. Гипербола нужна для описания обратной пропорциональности и изучения асимптот.

Парабола — график квадратичной функции y = ax² + bx + c. Её главные элементы — вершина, ось симметрии и направление ветвей, которое задаёт коэффициент a. Эти сведения позволяют построить параболу без большой таблицы значений.

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одного центра. В уравнении (x − a)² + (y − b)² = R² числа a и b задают центр (a; b), а R — радиус. Формула помогает определить положение окружности и проверить принадлежность точки.

Как это устроено

Уравнение с двумя переменными связывает координаты x и y. Каждая пара чисел, которая превращает уравнение в верное равенство, задаёт точку графика, а все такие пары образуют множество точек. Если преобразовать уравнение, например перенести график или изменить коэффициент, изменится условие для координат, поэтому изменятся положение или форма множества.

Из общего уравнения Ax + By + C = 0 при B ≠ 0 выразим y: By = −Ax − C, поэтому y = −A/B · x − C/B. Значит, угловой коэффициент равен k = −A/B, а точка пересечения с Oy имеет координаты (0; −C/B). Если B = 0, получается вертикальная прямая x = −C/A, которую нельзя представить функцией y от x.

В формуле y = k/x значение x = 0 запрещено, поэтому график распадается на две части по разные стороны от вертикальной оси. При приближении x к нулю значения y по модулю растут, а при больших |x| дробь стремится к нулю: так возникают асимптоты x = 0 и y = 0. При k > 0 знаки x и y совпадают, поэтому ветви лежат в I и III четвертях; при k < 0 они находятся во II и IV.

Для параболы y = ax² + bx + c знак a определяет направление ветвей: при a > 0 они направлены вверх, при a < 0 — вниз. Координата вершины по оси x равна x₀ = −b/(2a), а ось симметрии имеет уравнение x = x₀. Выделим полный квадрат: y = a(x² + b/a · x) + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a), поэтому вершина равна (−b/(2a); c − b²/(4a)).

Для окружности рассмотрим точку (x; y), центр (a; b) и радиус R. По теореме Пифагора квадрат расстояния между точкой и центром равен (x − a)² + (y − b)², а расстояние до окружности равно R, поэтому получаем исходное уравнение. Чтобы найти пересечения с Ox, подставляют y = 0, а с Oy — x = 0, после чего решают получившиеся квадратные уравнения.

Основные виды кривых и их уравнения

Таблица помогает сначала распознать вид кривой, а затем найти её параметры. При чтении формулы обращайте внимание не только на коэффициенты, но и на ограничения для переменной. Для окружности область определения в таблице означает допустимые значения x, а не область определения функции.

Разбор задач

Задача 1

Для уравнений y = 2x − 3, y = 4/x, y = (x − 1)² − 2 и (x + 2)² + (y − 1)² = 9 определим вид кривой и основные элементы. Нужно распознать стандартную форму каждого уравнения. Затем выпишем параметры без построения графика.

1. y = 2x − 3 — прямая: k = 2, b = −3, поэтому она пересекает Oy в точке (0; −3).
2. y = 4/x — гипербола с k = 4. Ветви расположены в I и III четвертях, асимптоты: x = 0 и y = 0.
3. y = (x − 1)² − 2 — парабола с вершиной (1; −2), осью x = 1 и ветвями, направленными вверх.
4. (x + 2)² + (y − 1)² = 9 — окружность с центром (−2; 1) и радиусом 3.

Ответ: получены соответственно прямая, гипербола, парабола и окружность с указанными параметрами. Для первого уравнения наклон положительный, для гиперболы знак коэффициента определяет I и III четверти.

Задача 2

Составим уравнение прямой через A(−2; 5) и B(4; −1), а затем найдём пересечения с осями. Сначала определим наклон по изменению y и x. После этого найдём свободный член и решим уравнение с нулевой координатой.

1. k = (−1 − 5)/(4 − (−2)) = −6/6 = −1.
2. Подставим A: 5 = −(−2) + b, откуда b = 3. Уравнение: y = −x + 3.
3. С Oy: x = 0, y = 3, точка (0; 3). С Ox: y = 0, тогда x = 3, точка (3; 0).

Ответ: y = −x + 3; пересечения с осями — (0; 3) и (3; 0). Проверка: обе исходные точки превращают уравнение в верное равенство.

Задача 3

Найдём общие точки параболы y = x² − 4x + 3 и окружности (x − 2)² + y² = 4. Общая точка должна одновременно удовлетворять обоим уравнениям, поэтому составим систему. Подстановка выражения для y в уравнение окружности сведёт задачу к одному уравнению.

1. Парабола: y = (x − 2)² − 1. Обозначим t = x − 2, тогда y = t² − 1.
2. В окружность подставим: t² + (t² − 1)² = 4. Получаем t⁴ − t² − 3 = 0.
3. Положим u = t². Тогда u² − u − 3 = 0, откуда u = (1 ± √13)/2. Отрицательное значение не подходит, поэтому t = ±√((1 + √13)/2).
4. Для каждого t вычисляем x = 2 + t и y = t² − 1 = (√13 − 1)/2. Значит, точек две.

Ответ: общие точки имеют координаты (2 ± √((1 + √13)/2); (√13 − 1)/2). Графики пересекаются в двух точках, значит система имеет два решения.

Типичные ошибки

Путают k в уравнении прямой с точкой пересечения с Oy. Ошибка возникает из-за того, что оба числа стоят рядом в формуле y = kx + b. Проверьте себя так: при x = 0 получится y = b, а изменение y при увеличении x на единицу связано с k.

Забывают, что в y = k/x нельзя брать x = 0. Иногда гиперболу мысленно соединяют с началом координат, потому что её ветви приближаются к осям. Подставьте координаты предполагаемой точки в формулу: деление на ноль невозможно, а при k ≠ 0 значение y не равно нулю.

Неверно находят вершину параболы, меняя знак у −b/(2a) или забывая вычислить вторую координату. Такая ошибка появляется при механическом применении формулы без проверки. Сначала найдите x₀ = −b/(2a), затем подставьте его в исходную функцию и проверьте ось симметрии.

В уравнении окружности принимают числа в скобках за координаты центра с теми же знаками. Причина — выражения x + 2 и y − 1 выглядят неодинаково, хотя оба имеют вид координата минус число. Перепишите скобки как x − (−2) и y − 1: центр будет (−2; 1).

Связь с другими темами

До изучения темы нужны координатная плоскость, графики функций, линейная и квадратичная функции, преобразования графиков и решение систем уравнений. Эти знания позволяют читать формулы и понимать, как изменение коэффициента влияет на график. Без них трудно связать алгебраические вычисления с геометрическим образом.

Кривые особенно полезны при решении систем графическим методом. Число общих точек показывает число решений, а отсутствие пересечений означает несовместность системы. Так можно исследовать взаимное расположение прямых, окружностей и других кривых.

Дальше эти представления переходят в аналитическую геометрию и изучение конических сечений. Они понадобятся при рассмотрении касательных и производных. Например, производная помогает описывать наклон касательной к графику в заданной точке.

Что запомнить

• Уравнение с двумя переменными задаёт множество точек на координатной плоскости.
• В уравнении y = kx + b коэффициент k определяет наклон прямой, а b — её пересечение с осью Oy.
• График y = k/x имеет две ветви и асимптоты x = 0 и y = 0.
• Вершина параболы y = ax² + bx + c имеет абсциссу x = −b/(2a).
• Знак коэффициента a определяет направление ветвей параболы.
• В уравнении окружности (x − a)² + (y − b)² = R² центр имеет координаты (a; b), а радиус равен R.
• Пересечение графиков соответствует решению системы их уравнений.