"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Линейная функция задаёт зависимость величины y от величины x формулой y = kx + b. Её график — прямая, поэтому для построения достаточно найти две точки. Коэффициент k показывает, как меняется y при изменении x, а свободный член b — чему равно y при x = 0. Понимание этих правил помогает быстро строить графики, находить точки пересечения с осями и описывать изменение величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — аргумент, а k и b — числа. Аргумент — это значение, которое мы выбираем, а функция по нему определяет y. Такой записью удобно описывать зависимость, в которой при равных изменениях x величина y меняется одинаково.
Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле линейной функции. Его также называют угловым коэффициентом: он показывает наклон графика и изменение y при увеличении x на единицу. Зная k, можно заранее понять, будет прямая подниматься или опускаться слева направо.
Свободный член b — слагаемое, которое не содержит x. Если подставить в формулу x = 0, получится y = b. Поэтому b показывает значение функции при нулевом аргументе и помогает сразу найти место пересечения графика с осью y.
График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле функции. Например, точка (2; 5) лежит на графике, если при x = 2 формула даёт y = 5. Это определение позволяет проверять, принадлежат ли конкретные точки графику.
График линейной функции — прямая, потому что при каждом одинаковом изменении x значение y изменяется на одну и ту же величину. Например, если x увеличивается на 1, то y изменяется на k; если x увеличивается на 2, то изменение y равно 2k. Такие постоянные изменения располагают точки графика вдоль одной прямой. Чтобы провести прямую, достаточно найти две её разные точки.
Для построения по формуле y = kx + b составляют таблицу значений. Выбирают несколько удобных x, подставляют их в формулу и вычисляют соответствующие y. Каждая полученная пара чисел задаёт точку (x; y), которую отмечают на координатной плоскости. Через две точки проводят прямую, а третья точка может служить проверкой вычислений и построения.
Коэффициент k определяет изменение функции: при увеличении x на единицу y изменяется на k. Если k положителен, значение y растёт; если k отрицателен, оно уменьшается. Чем больше модуль k, тем сильнее изменяется y на том же отрезке по горизонтали, поэтому наклон прямой круче. При k = 0 значение y не меняется.
Ось y состоит из точек, у которых x = 0. Подстановка этого значения в формулу даёт y = k · 0 + b = b, поэтому график пересекает ось y в точке (0; b). Это объясняет, почему свободный член можно определить, даже не строя весь график. Если b равно нулю, прямая проходит через начало координат.
Направление прямой задаёт знак k, а величина k влияет на её наклон. Свободный член b отвечает за положение прямой относительно оси y. Если изменить b, сохранив k, у всех точек с одинаковым x значение y изменится на одно и то же число. Поэтому прямая сдвинется вверх или вниз параллельно прежней.
| Условие | Что происходит с графиком |
|---|---|
| k > 0 | Прямая поднимается слева направо, функция возрастает. |
| k < 0 | Прямая опускается слева направо, функция убывает. |
| k = 0 | График — горизонтальная прямая y = b. |
| b = 0 | Прямая проходит через начало координат. |
| Изменение b при неизменном k | Прямая сдвигается вверх или вниз параллельно прежней. |
Сначала найдите в формуле значения k и b, а затем выберите подходящую строку таблицы. По знаку k можно определить направление прямой, а по значению b — её пересечение с осью y. Если b меняется, сравнивайте графики с одинаковым k: они будут параллельны.
Задача 1. Постройте график функции y = 2x + 1. Сначала выберем такие значения x, чтобы вычисления были простыми. Найдём значения y для двух разных x и запишем полученные точки. После этого отметим их и проведём прямую.
Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; 1) и (1; 3). При желании можно проверить построение третьей точкой: при x = −1 получаем y = −1, то есть точку (−1; −1). Она должна лежать на той же прямой.
Задача 2. Найдите точку пересечения графика y = −3x + 6 с осью x. У каждой точки оси x ордината, то есть координата y, равна нулю. Поэтому подставим y = 0 в формулу и решим уравнение относительно x. Найденное значение x станет первой координатой искомой точки.
Ответ: точка пересечения с осью x — (2; 0). Проверка: если подставить x = 2 в исходную формулу, получится y = −3 · 2 + 6 = 0. Значит, координаты найденной точки удовлетворяют формуле графика.
Задача 3. Определите формулу линейной функции, график которой проходит через точки (0; −2) и (3; 4). Искомая формула имеет вид y = kx + b. Первая точка сразу подсказывает свободный член, потому что её абсцисса равна нулю. Затем найдём, насколько изменилось y при переходе от первой точки ко второй.
Ответ: y = 2x − 2. Проверим точку (3; 4): 2 · 3 − 2 = 4, значит, она лежит на графике. При x = 0 формула даёт y = −2, поэтому первая точка тоже подходит.
Ошибка — считать, что для точного построения достаточно одной точки. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых, поэтому такой график определить нельзя. Иногда ученики выбирают одну точку, потому что не замечают, что наклон ещё неизвестен. Найдите вторую точку и убедитесь, что её координаты вычислены по формуле.
Ошибка — путать коэффициенты k и b. k стоит при x и задаёт изменение функции, а b не содержит x и показывает значение при x = 0. Путаница возникает, когда оба числа воспринимают просто как части формулы. Проверьте роли подстановкой: при x = 0 должно получиться y = b.
Ошибка — откладывать координату y не в ту сторону. Положительные значения y располагаются выше оси x, а отрицательные — ниже; при построении легко не заметить знак числа. Например, точка (1; −2) лежит ниже оси x, а не выше неё. Перед отметкой точки отдельно проверьте знаки обеих координат.
Ошибка — при поиске пересечения с осью y приравнивать нулю y. На оси y равна нулю координата x, а на оси x — координата y. Эти условия меняют местами, потому что названия осей похожи. Проверка простая: у точки на оси y первая координата всегда равна нулю.
Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа в выражения, выполнять вычисления и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают составить таблицу значений и построить график без ошибок. Линейная функция, в свою очередь, помогает наглядно решать линейные уравнения и системы уравнений. Она также используется при изучении графиков зависимостей между величинами.
Почему график линейной функции всегда является прямой?
При увеличении x на одно и то же число значение y каждый раз изменяется на одинаковую величину. Поэтому точки графика располагаются на одной прямой. Это верно для функции вида y = kx + b.
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно двух разных точек: через них можно провести единственную прямую. Обычно выбирают значения x, для которых y легко вычислить. Третья точка поможет проверить построение.
Как по формуле определить точку пересечения с осью y?
На оси y у каждой точки абсцисса x равна нулю. Подставьте x = 0 в формулу y = kx + b и получите y = b. Значит, точка пересечения имеет координаты (0; b).
Что меняется на графике, если изменить коэффициент k?
Меняется наклон прямой и направление её движения слева направо. При k > 0 прямая поднимается, а при k < 0 опускается. Если k = 0, прямая становится горизонтальной.
Что происходит с графиком при изменении свободного члена b?
Прямая перемещается вверх или вниз, но её наклон не меняется, потому что k остаётся прежним. Поэтому новые и старые прямые параллельны. Свободный член также задаёт новую точку пересечения с осью y.
§ 9. Линейная функция и ее график
