"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
График линейной функции y = kx + m — прямая, а её положение определяется числами k и m. Сравнив коэффициенты двух функций, можно сразу понять, пересекутся ли прямые, будут параллельны или совпадут. Если угловые коэффициенты различны, точку пересечения находят, приравнивая формулы и решая уравнение. Это помогает не только исследовать графики, но и разбираться в системах линейных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — функция вида y = kx + m, где k и m — числа. Коэффициент k называют угловым: он задаёт наклон прямой, а число m показывает, чему равно y при x = 0. По этим двум коэффициентам можно описать положение графика.
График линейной функции — прямая, каждая точка которой имеет координаты (x; y), связанные формулой y = kx + m. Иначе говоря, если подставить координаты любой точки графика в формулу, получится верное равенство. Это позволяет проверять, лежит ли точка на прямой.
Параллельные прямые — прямые, которые не пересекаются. Графики линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂. Такое условие помогает отличить прямые с одинаковым наклоном, но разным положением.
Совпадающие прямые состоят из одних и тех же точек. Их графики задаются одинаковыми коэффициентами: k₁ = k₂ и m₁ = m₂. Тогда обе формулы описывают не две разные прямые, а одну и ту же линию.
У линейной функции график получается прямой, потому что изменение аргумента на одну и ту же величину каждый раз одинаково меняет значение функции. Если x увеличился на число a, то y изменился на k·a: это следует из разности k(x + a) + m и kx + m. Постоянное отношение изменений и делает график ровной линией, без изгибов. Например, при увеличении x на 1 значение y меняется на k.
Число k задаёт направление и наклон прямой. При разных значениях k прямые имеют разный наклон, поэтому не могут оставаться рядом на всём протяжении: они пересекаются в одной точке. Это можно увидеть и из уравнения для общей точки: при k₁ ≠ k₂ его удаётся решить относительно x. Затем для найденного x обе функции дают одно и то же значение y.
Если угловые коэффициенты равны, прямые имеют одинаковый наклон. Их положение различает свободный член m: он показывает, где прямая пересекает ось y, потому что при x = 0 получаем y = m. Разные значения m сдвигают прямые вверх или вниз, поэтому они параллельны; одинаковые m оставляют их на одном месте, и графики совпадают. Так свободный член помогает уточнить результат сравнения наклонов.
Чтобы найти пересечение, приравняйте значения двух функций: k₁x + m₁ = k₂x + m₂. Решите полученное линейное уравнение и подставьте найденный x в любую исходную формулу, чтобы вычислить y. Приравниваются именно значения y для одной и той же абсциссы, ведь общая точка должна принадлежать обоим графикам. Ответ записывают парой координат (x; y).
Иногда уравнение k₁x + m₁ = k₂x + m₂ не даёт одного значения x. Если после упрощения получается противоречие, например 0 = 3, общей точки нет: это случай параллельных прямых. Если получается верное равенство, например 0 = 0, подходят любые x, а графики совпадают. Поэтому при равных k обязательно сравните m, а не пытайтесь искать единственную точку пересечения.
| Условие | Взаимное расположение | Число общих точек |
|---|---|---|
| k₁ ≠ k₂ | Пересекаются | Одна |
| k₁ = k₂, m₁ ≠ m₂ | Параллельны | Ноль |
| k₁ = k₂, m₁ = m₂ | Совпадают | Бесконечно много |
Сначала сравните угловые коэффициенты, затем — свободные члены, если k₁ = k₂. По двум проверкам сразу определяются и расположение прямых, и число их общих точек. Для нахождения координат пересечения используйте уравнение из предыдущего раздела.
Условие. Определите взаимное расположение графиков y = 3x + 1 и y = 3x − 4. Достаточно сравнить коэффициенты: обе формулы уже записаны в нужном виде. Вычислять координаты пересечения не требуется, если сразу ясно, что общих точек нет.
Ответ: графики параллельны, общих точек нет.
Условие. Найдите точку пересечения графиков y = 2x − 1 и y = −x + 5. Их угловые коэффициенты различны, значит, пересечение должно быть одно. Найдём значение x, при котором обе формулы дают одинаковое y.
Ответ: графики пересекаются в точке (2; 3).
Условие. Определите взаимное расположение графиков y = 4x + 2 и y = 2(2x + 1). Во второй формуле скобки нужно раскрыть, чтобы можно было сравнить коэффициенты. Если оба коэффициента совпадут, графики будут одной и той же прямой.
Ответ: графики совпадают; обе формулы задают одну прямую.
Ошибка: считать, что прямые с одинаковым угловым коэффициентом обязательно совпадают. Так думают, потому что обе линии имеют одинаковый наклон, но наклон не задаёт, где именно прямая проходит. Сравните свободные члены: если они различны, графики параллельны; если одинаковы — совпадают.
Ошибка: при поиске пересечения приравнивать коэффициенты k или m. Коэффициенты помогают определить расположение прямых, но общая точка должна иметь одинаковое значение y на обоих графиках. Поэтому составьте равенство k₁x + m₁ = k₂x + m₂ и проверьте, что в обеих частях записаны значения функций.
Ошибка: не рассматривать отдельно случай k₁ = k₂. При равных угловых коэффициентах уравнение пересечения не даст обычного единственного значения x: оно окажется либо противоречием, либо верным равенством. Упростите уравнение и сравните свободные члены, чтобы отличить параллельные прямые от совпадающих.
Ошибка: найти абсциссу пересечения и остановиться. Значение x — только первая координата, а точка записывается как (x; y). Подставьте найденное x в одну из исходных формул и вычислите y; для проверки можно подставить его и во вторую.
Для работы с графиками нужно уметь строить линейную функцию по двум точкам, подставлять значения аргумента и решать линейные уравнения. Сравнение графиков опирается на знание углового коэффициента и свободного члена функции y = kx + m. Позже этот подход поможет решать системы двух линейных уравнений: общая точка графиков соответствует решению системы. По числу общих точек можно понять, сколько решений имеет система.
Как по формулам понять, пересекутся ли два графика?
Сравните угловые коэффициенты k₁ и k₂. Если они различны, графики пересекутся в одной точке; если равны, прямые либо параллельны, либо совпадают — это зависит от свободных членов.
Почему прямые с одинаковым угловым коэффициентом могут не совпадать?
При одинаковом k прямые имеют одинаковый наклон, но свободный член m задаёт значение y при x = 0. Если m различны, прямые проходят через разные точки на оси y и параллельны.
Как найти координаты точки пересечения двух графиков?
Приравняйте формулы функций и решите уравнение k₁x + m₁ = k₂x + m₂. Полученное значение x подставьте в любую из формул, чтобы найти y; затем запишите точку как (x; y).
Что означает, если уравнение для нахождения пересечения не имеет решения?
Это означает, что графики не имеют общих точек. Для линейных функций такой случай возникает, когда угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны: прямые параллельны.
Как понять по формулам, что графики совпадают?
Приведите обе формулы к виду y = kx + m и сравните коэффициенты. Если и k, и m одинаковы, формулы задают одну и ту же прямую.
§ 10. Взаимное расположение графиков линейных функций
