§ 10. Взаимное расположение графиков линейных функций

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Коэффициент k называют угловым: он показывает, как меняется y при изменении x. Число b называют свободным членом; оно помогает определить, где график пересекает ось y.

График линейной функции — прямая, состоящая из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению y = kx + b. Например, если точка лежит на графике, её координаты можно подставить в формулу и получить верное равенство. Это определение позволяет проверять, принадлежит ли точка графику.

Параллельные прямые — прямые, которые не пересекаются. У графиков линейных функций это происходит, когда угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Сравнение коэффициентов помогает определить взаимное расположение графиков, даже не строя их.

Точка пересечения графиков — общая точка двух прямых. Её координаты одновременно удовлетворяют уравнениям обеих функций. Поэтому для нахождения такой точки можно приравнять выражения, задающие значения y.

Как это устроено

В формуле y = kx + b изменение x на величину, например, 1, приводит к изменению y на k. Если x увеличивается на 2, значение y меняется на 2k; при уменьшении x оно меняется в противоположную сторону. Такой постоянный способ изменения координат и задаёт прямую, а не кривую.

Коэффициент k определяет наклон прямой: при положительном k она поднимается слева направо, а при отрицательном — опускается. Чем больше модуль k, тем заметнее наклон относительно горизонтального направления. Коэффициент b задаёт значение y при x = 0, потому что подстановка нуля в формулу оставляет y = b; именно в этой точке график встречает ось y.

Чтобы понять, пересекаются ли две прямые, приравняем значения функций: k₁x + b₁ = k₂x + b₂. Если k₁ ≠ k₂, после переноса слагаемых получится уравнение (k₁ − k₂)x = b₂ − b₁ с единственным решением. Значит, найдётся ровно одно значение x, при котором функции дают одинаковое y, и графики имеют одну общую точку.

Если k₁ = k₂, в уравнении равенства функций члены с x сокращаются, и остаётся сравнить b₁ и b₂. При разных свободных членах значения функций отличаются на одно и то же число при любом x, поэтому графики не встречаются и идут параллельно. Если свободные члены тоже равны, формулы одинаковы и каждая точка одного графика принадлежит другому.

Для нахождения точки пересечения нужно найти значение x, при котором функции равны. Сначала приравнивают правые части формул и решают полученное линейное уравнение. Затем найденное x подставляют в любую из двух функций и вычисляют y; пара чисел (x; y) и есть искомая точка.

Взаимное расположение графиков y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂

Сначала сравните коэффициенты при x, а затем, если они равны, — свободные члены. По строке таблицы можно сразу определить и расположение прямых, и число их общих точек. Если графики пересекаются, координаты общей точки находятся подстановкой в формулы.

Разбор задач

Определить взаимное расположение графиков y = 3x + 2 и y = 3x − 4

Необязательно строить прямые: сравним коэффициенты, отвечающие за наклон, а после этого — свободные члены. Такая проверка сразу показывает, отличаются ли только положения прямых или и их наклоны.

1. В первой формуле k₁ = 3, b₁ = 2; во второй k₂ = 3, b₂ = −4.
2. Угловые коэффициенты равны, но свободные члены различны: 2 ≠ −4.
3. По таблице такие графики параллельны и не имеют общих точек.

Ответ: графики параллельны.

Найти точку пересечения графиков y = 2x + 1 и y = −x + 7

В точке пересечения обе формулы дают одно и то же значение y. Поэтому приравняем правые части, найдём x, а затем вычислим соответствующую координату y.

1. Записываем равенство: 2x + 1 = −x + 7.
2. Переносим слагаемые: 2x + x = 7 − 1, поэтому 3x = 6 и x = 2.
3. Подставляем x = 2 в первую формулу: y = 2 · 2 + 1 = 5.

Ответ: графики пересекаются в точке (2; 5). Проверка по второй формуле даёт y = −2 + 7 = 5.

Для каких значений a графики y = (a − 1)x + 5 и y = 2x + 5 совпадают, а для каких параллельны и не совпадают?

У графиков уже одинаковые свободные члены, равные 5. Чтобы прямые совпали, должны совпасть также коэффициенты при x; чтобы они были параллельны, коэффициенты должны быть равны, но свободные члены — различаться. Сопоставим оба условия с формулами задачи.

1. Для совпадения приравниваем коэффициенты: a − 1 = 2, откуда a = 3. Свободные члены равны, значит, при этом значении формулы задают одну прямую.
2. Для параллельных, но не совпадающих прямых тоже потребовалось бы a − 1 = 2, то есть a = 3. Однако при a = 3 свободные члены также равны, поэтому прямые совпадают.
3. При любом a, отличном от 3, угловые коэффициенты различны и графики пересекаются, а не являются параллельными.

Ответ: графики совпадают при a = 3; значений a, при которых они параллельны и не совпадают, нет.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при одинаковых угловых коэффициентах прямые обязательно совпадают. Обычно замечают одинаковый наклон и не проверяют свободные члены. Сравните b₁ и b₂: если они разные, прямые параллельны, а если равны — совпадают.

Иногда путают роли k и b: считают, что свободный член задаёт наклон, а коэффициент при x — пересечение с осью y. Такую ошибку легко обнаружить, подставив x = 0: получится y = b. Для проверки наклона посмотрите, на сколько меняется y при увеличении x на 1: это число k.

При решении задачи на пересечение можно найти x и забыть вычислить y. Тогда получена только одна координата, и точка ещё не определена. Подставьте найденное x в одну из формул, найдите y и запишите обе координаты в порядке (x; y).

Неверная координата часто появляется из-за потерянного минуса при переносе слагаемых. Например, в уравнении 2x + 1 = −x + 7 при переносе −x влево получаем +x, а при переносе 1 вправо — −1. После решения проверьте x подстановкой в обе функции: их значения y должны совпасть.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужно уметь строить прямую по формуле y = kx + b и понимать, как её коэффициенты меняют наклон и положение. При поиске точки пересечения используются навыки решения линейных уравнений: значения функций приравниваются, а неизвестное находится обычными преобразованиями.

Общая точка двух графиков соответствует решению системы уравнений с двумя переменными, поэтому эта тема пригодится при её графическом решении. Сравнение прямых также помогает анализировать линейные зависимости и модели, например сопоставлять два способа изменения величины.

Что запомнить

• График линейной функции y = kx + b — прямая.
• Коэффициент k определяет наклон прямой.
• Коэффициент b задаёт ординату точки пересечения графика с осью y.
• При разных угловых коэффициентах графики пересекаются в одной точке.
• При равных угловых коэффициентах и разных свободных членах графики параллельны.
• При равных угловых коэффициентах и равных свободных членах графики совпадают.