§ 11. Что такое степень с натуральным показателем

Определения и обозначения

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать короче — в виде степени с натуральным показателем. Например, вместо 5 · 5 · 5 пишут 5³. Такая запись удобна, когда одинаковый множитель повторяется много раз: она делает выражение короче и помогает быстрее выполнять вычисления.

Число или выражение, которое повторяется множителем, называют основанием степени. В записи 5³ основание — 5, а в записи (x + 1)² основание — всё выражение x + 1. По основанию понятно, какое именно число или выражение умножают на себя.

Натуральное число, показывающее количество одинаковых множителей, называют показателем степени. Например, в записи 5³ показатель равен 3: пятёрка входит в произведение три раза. Показатель нужен, чтобы не пересчитывать множители в длинной записи, а сразу видеть их количество.

Возведение в степень — действие, при котором произведение одинаковых множителей записывают в виде степени или находят значение этой степени. Так, 5 · 5 · 5 можно представить как 5³, а вычисление 5³ = 125 даёт значение степени. Это название помогает отличать саму краткую запись от результата вычисления.

Как это устроено

В произведении 5 · 5 · 5 · 5 множитель 5 повторяется четыре раза, поэтому произведение заменяют записью 5⁴. Основание показывает, какой множитель повторяется, а показатель — сколько раз он взят. Если одинаковые множители не повторяются, например в 5 · 4 · 5, нельзя заменить всё произведение одной степенью: множители должны совпадать.

Запись aⁿ читают как «а в степени эн» и раскрывают так: a · a · … · a, где всего n множителей. Показатель относится ко всему основанию, если оно заключено в скобки: (a + b)² = (a + b) · (a + b). Скобки нужны потому, что повторяется всё выражение a + b, а не только число a или b.

Чтобы найти значение степени, последовательно умножают основание на себя нужное число раз. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3: сначала 3 · 3 = 9, затем 9 · 3 = 27 и ещё 27 · 3 = 81. Такой способ не пропускает множители и особенно помогает при небольшом показателе.

Отрицательное основание записывают в скобках, чтобы знак минус входил в каждый множитель. Например, (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = -8, а (-2)⁴ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16. При чётном показателе отрицательные множители объединяются в пары, каждая пара даёт положительное число; при нечётном один отрицательный множитель остаётся без пары.

Умножить число на показатель и возвести число в степень — разные действия. Например, 3 · 4 = 12, а 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Показатель указывает число множителей, а не число, на которое надо умножить основание, поэтому запись степени нельзя заменять обычным умножением.

Запись степени и соответствующее произведение

Сначала найдите основание и показатель, затем раскройте степень в произведение. По числу записанных множителей можно проверить, правильно ли использован показатель. Для отрицательных оснований проследите за знаком каждого множителя и учтите, сколько их всего.

Разбор задач

Задача: запишите произведение 7 · 7 · 7 · 7 в виде степени и укажите её основание и показатель.

1. Проверяем, одинаковы ли множители: во всех четырёх местах стоит 7. Значит, произведение можно записать одной степенью.
2. Считаем множители: число 7 повторяется четыре раза. Поэтому основание степени равно 7, а показатель равен 4.
3. Записываем результат: 7 · 7 · 7 · 7 = 7⁴. Проверка: при раскрытии 7⁴ снова получаются ровно четыре семёрки.

Ответ: 7⁴; основание — 7, показатель — 4.

Задача: вычислите 4³ и (-3)², предварительно записав каждую степень в виде произведения.

1. Раскрываем первую степень: 4³ = 4 · 4 · 4. Умножаем последовательно: 4 · 4 = 16, затем 16 · 4 = 64.
2. Во второй записи основание отрицательное и заключено в скобки. Поэтому (-3)² = (-3) · (-3) = 9: произведение двух отрицательных множителей положительно.
3. Сверяем количество множителей с показателями: у 4³ их три, а у (-3)² — два. Это помогает не добавить и не пропустить множитель.

Ответ: 4³ = 64; (-3)² = 9.

Задача: сравните значения (-2)⁵ и -2⁵; объясните, почему записи раскрываются по-разному.

1. В (-2)⁵ основание — всё число -2, поскольку минус находится внутри скобок. Получаем пять отрицательных множителей: (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = -32.
2. В записи -2⁵ основание степени — 2, а минус стоит перед степенью. Сначала вычисляем 2⁵ = 32, затем ставим перед результатом знак минус: -2⁵ = -(32) = -32.
3. Сравниваем результаты: в данном примере они равны, но получены по разным правилам. Скобки показывают, входит ли минус в основание, поэтому убирать их без проверки нельзя.

Ответ: (-2)⁵ = -32 и -2⁵ = -32; порядок действий и смысл основания у записей различаются.

Типичные ошибки

Ошибка — считать показатель множителем и заменять 5³ на 5 · 3. Так делают, если воспринимают верхнее число как указание выполнить умножение. Проверьте себя раскрытием: в 5³ должно быть три пятёрки, то есть 5 · 5 · 5.

Ошибка — записывать произведение разных чисел одной степенью, например считать, что 2 · 3 — это 2³. Для степени требуется один и тот же множитель, повторённый несколько раз. Перед сокращённой записью сравните множители: если они разные, основание для такой степени не подходит.

Ошибка — не заключать отрицательное основание в скобки и путать (-2)⁴ с -2⁴. Путаница возникает потому, что знак минус визуально стоит рядом с числом в обеих записях. Раскройте скобки по смыслу: (-2)⁴ содержит четыре множителя -2, а -2⁴ означает -(2 · 2 · 2 · 2).

Ошибка — неверно считать множители при раскрытии степени: пропустить первый или добавить лишний. Это часто происходит, когда ученик ориентируется на длину записи, а не на показатель. Посчитайте множители отдельно и убедитесь, что их ровно столько, сколько указано сверху.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь различать натуральные числа и выполнять умножение. Также важно знать, как записывают произведение одинаковых множителей: степень — это сокращённый способ такой записи. Эти умения помогают раскрывать степень и находить её значение.

Дальше степени пригодятся при изучении их свойств, а также одночленов и многочленов. Они позволяют компактно записывать повторяющиеся множители в выражениях. Степени используют и для записи очень больших или очень малых чисел, когда длинная запись неудобна.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n одинаковых множителей, равных a.
• Число a называют основанием степени.
• Число n называют показателем степени.
• Показатель показывает количество множителей, а не действие умножения основания на показатель.
• Отрицательное основание заключают в скобки.
• В записи -aⁿ знак минус не входит в основание степени.