"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает не повторять длинные произведения и упрощает вычисления. В записи aⁿ число a называют основанием, а натуральное число n показывает, сколько раз основание входит в произведение. При вычислении степени важно соблюдать порядок действий и следить за скобками: они определяют, какое число возводят в степень. Для отрицательного основания знак результата зависит от того, чётный показатель или нечётный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — запись произведения нескольких одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где a повторяется n раз. Например, 4³ означает 4 · 4 · 4. Такая запись нужна, чтобы короче представлять произведение, в котором одно и то же число или выражение встречается много раз.
Основание степени — число или выражение a, которое повторяется в произведении. В записи 7⁴ основание равно 7, а в x³ основание — x. Определить основание нужно, чтобы понять, какой именно множитель повторяется и какое число следует возводить в степень.
Показатель степени — натуральное число n, которое показывает, сколько раз основание входит в произведение. В записи 5³ показатель равен 3, значит, нужно взять три множителя 5. Показатель помогает раскрыть сокращённую запись без догадок и не означает число знаков умножения.
Возведение в степень — действие, с помощью которого находят значение степени. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Это действие удобно для вычисления произведений одинаковых множителей и часто встречается в выражениях с несколькими действиями.
Показатель степени позволяет заменить длинное произведение короткой записью. Например, вместо a · a · a · a можно написать a⁴, потому что все четыре множителя одинаковы. Такая запись сокращает вычисления и помогает сразу увидеть, сколько раз повторяется основание. Если множители различаются, представить их произведение в виде степени таким способом нельзя.
Чтобы раскрыть степень, нужно повторить основание ровно столько раз, сколько показывает показатель. Поэтому x³ = x · x · x, а не x · 3 и не x · x · x · x. После раскрытия становится видно, какие действия предстоит выполнить. Особенно полезно это при вычислении степени числового основания.
Степень выполняют раньше умножения и деления, если скобки не задают другой порядок. Например, в выражении 2 · 3² сначала находят 3² = 9, а затем умножают 2 на 9. Это правило нужно, чтобы одинаковые выражения вычислялись одинаково и результат не зависел от того, как человек прочитал запись. Если действие требуется выполнить раньше, его заключают в скобки.
Скобки показывают, где заканчивается основание степени. В записи (−2)⁴ основание — −2, поэтому при раскрытии получаем четыре множителя −2. В записи −2⁴ основание — только 2, а минус стоит перед степенью, значит, сначала вычисляют 2⁴, затем берут число с противоположным знаком. Скобки помогают избежать неверного выбора основания и ошибки со знаком.
Если основание отрицательное, его знак повторяется вместе с числом в каждом множителе. При чётном показателе отрицательные множители можно объединить в пары, и каждая пара даёт положительное произведение. Поэтому чётная степень отрицательного числа положительна. При нечётном показателе один отрицательный множитель остаётся без пары, поэтому результат отрицательный.
В таблице показано, как по записи определить основание и показатель, а затем представить степень как произведение. В первых двух строках перечислены конкретные случаи, а последняя строка описывает общий вид. Пользуйтесь ею так: найдите показатель, посчитайте столько же одинаковых множителей и запишите их через знак умножения.
| Запись | Основание | Показатель | Произведение |
|---|---|---|---|
| a² | a | 2 | a · a |
| a³ | a | 3 | a · a · a |
| aⁿ | a | n | n одинаковых множителей a |
В произведении все множители равны 5, поэтому это число будет основанием степени. Чтобы определить показатель, считаем множители, а не знаки умножения между ними. Затем вычисляем полученную степень.
Запись произведения в виде степени помогает сразу показать число повторений. Проверить показатель можно, ещё раз пересчитав множители в исходном произведении. Ответ: 5⁴ = 625.
Сначала нужно определить основание каждой степени: это зависит от скобок. В первой записи отрицательное число целиком возводится в степень, во второй в степень возводится только число 3. Разберём обе записи отдельно, чтобы не перенести знак минус на неверную часть выражения.
В первой записи четыре отрицательных множителя, поэтому результат положительный. Во второй минус не входит в основание степени и остаётся перед результатом. Ответ: (−3)⁴ = 81; −3⁴ = −81.
В выражении есть степени, умножение и сложение, поэтому важно соблюдать порядок действий. Сначала вычислим степени, учитывая, что в первой из них основание отрицательное и показатель нечётный. Затем выполним умножение и только после него сложение.
Нечётная степень отрицательного основания дала отрицательное число, поэтому результат умножения тоже отрицательный. Сложение выполняем последним и получаем −7. Ответ: −7.
Иногда показатель принимают за значение степени. Например, в записи 3⁴ число 4 — это показатель, а значение степени равно 81. Ошибка возникает потому, что показатель заметен рядом с основанием, но он лишь описывает произведение. Проверяйте себя: раскройте степень и вычислите получившееся произведение.
Другая ошибка — записать при раскрытии степени неверное количество множителей. Показатель 3 означает три множителя, а не три действия умножения, поэтому x³ = x · x · x. Путаница появляется из-за того, что между тремя множителями стоят только два знака умножения. Для проверки пересчитайте именно основания, а не знаки между ними.
Если не учесть скобки, можно ошибочно принять минус перед степенью за часть основания. В выражении (−2)² возводят в квадрат число −2, а в выражении −2² сначала вычисляют 2² и затем ставят минус. Такая ошибка возникает, когда записи читают одинаково, не обращая внимания на скобки. Подчеркните основание в записи: скобки показывают, входит ли минус в него.
Неверно считать, что отрицательное основание всегда даёт отрицательный результат. Знак зависит от показателя: например, (−2)² = 4, а (−2)³ = −8. Причина ошибки — внимание только на минусе основания без учёта числа множителей. Проверьте чётность показателя: чётная степень даёт плюс, нечётная — минус.
Для работы со степенями нужно уверенно умножать натуральные и целые числа. Также важно понимать, как скобки влияют на порядок действий и помогают определить основание. Если эти навыки вызывают затруднение, полезно потренироваться на обычных числовых выражениях.
Степени позволяют кратко записывать и вычислять произведения одинаковых множителей. Позже эта запись пригодится при изучении свойств степеней, одночленов и многочленов. Поэтому умение узнавать основание и показатель станет основой для дальнейших алгебраических преобразований.
Чем показатель степени отличается от значения степени?
Показатель — это число в верхнем индексе, которое показывает количество одинаковых множителей. Значение степени — результат вычисления. Например, в 3⁴ показатель равен 4, а значение степени — 81.
Сколько множителей нужно записать при раскрытии степени?
Нужно записать столько множителей, сколько показывает показатель. Например, x³ = x · x · x: здесь три множителя, хотя знаков умножения только два.
Почему (−2)² и −2² дают разные результаты?
В записи (−2)² основание — всё число −2, поэтому (−2) · (−2) = 4. В записи −2² сначала возводят в квадрат число 2, а затем ставят перед результатом минус: −4.
Как определить знак степени отрицательного числа?
Если показатель чётный, отрицательное основание входит в произведение чётное число раз, поэтому результат положительный. Если показатель нечётный, множителей с минусом нечётное число, поэтому результат отрицательный.
В каком порядке выполнять действия, если в выражении есть степени?
Сначала выполняют действия в скобках, затем возводят числа в степень. После этого выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
§ 11. Что такое степень с натуральным показателем
