§ 12. Таблица основных степеней

Определения и обозначения

Степень числа — это произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножается само на себя n раз: aⁿ = a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись удобна, когда один и тот же множитель повторяется много раз: вместо длинного произведения можно записать степень.

Основание степени — число, которое берут множителем несколько раз. В записи 6³ основание — 6, поэтому в произведении повторяются именно шестёрки: 6 · 6 · 6. Основание помогает понять, какое число повторяется. Если изменить основание, значение степени может измениться, даже когда показатель останется прежним.

Показатель степени — число, которое показывает, сколько одинаковых множителей записано. В записи 6³ показатель равен 3, значит, нужно взять три множителя 6. Он не сообщает, на какое число нужно умножить основание. Понимание показателя помогает правильно раскрыть степень в виде произведения.

Квадрат числа — его вторая степень, а куб числа — третья степень. Поэтому a² = a · a, а a³ = a · a · a: в первом произведении два одинаковых множителя, во втором — три. Например, квадрат числа 5 равен 25, а куб числа 5 равен 125. Эти названия часто используют вместо слов «вторая степень» и «третья степень».

Как это устроено

Когда в произведении несколько раз встречается одно и то же число, его удобно записать степенью. Например, вместо 2 · 2 · 2 · 2 · 2 пишут 2⁵. Такая запись короче и сразу сообщает, какое число повторяется и сколько раз. Чтобы перейти от степени к произведению, нужно записать основание нужное количество раз, ориентируясь на показатель.

Рассмотрим, как вычислить 3⁴. Основание равно 3, а показатель — 4, поэтому записываем четыре тройки: 3 · 3 · 3 · 3. Сначала вычисляем 3 · 3 = 9, затем 9 · 3 = 27 и, наконец, 27 · 3 = 81. Так значение степени получается из последовательного умножения одинаковых множителей.

Квадрат и куб получили свои названия потому, что соответствуют второй и третьей степеням. В a² два множителя a, а в a³ — три, поэтому число в квадрате умножают само на себя один раз, а число в кубе — два раза. Например, 7² = 7 · 7 = 49, а 7³ = 7 · 7 · 7 = 343. Подсчёт множителей показывает, почему квадрат нельзя путать с кубом.

Таблица основных степеней устроена так, чтобы результат не приходилось каждый раз вычислять заново. Сначала выбирают строку с основанием, например 4, а затем находят столбец нужного показателя, например «Третья степень». На пересечении строки и столбца стоит значение 4³. Такой способ работает, потому что каждая строка относится к одному основанию, а каждый столбец — к одной степени.

Найденные значения можно использовать для проверки вычислений и сравнения степеней. Если вы вычислили 6³ самостоятельно, найдите в таблице строку 6 и столбец третьей степени: результат должен совпасть. Для сравнения выпишите оба значения и сопоставьте их как обычные числа. Так таблица помогает быстро проверить ответ и не перепутать порядок величин.

Основные степени натуральных чисел

Чтобы найти степень, выберите строку с основанием, а затем столбец с нужным показателем. Например, значение на пересечении строки 4 и столбца «Третья степень» равно 64. Таблица содержит готовые результаты, поэтому её можно применять для проверки вычислений и сравнения степеней.

Разбор задач

Задача. Вычислите 4³, записав степень в виде произведения.

1. В записи 4³ основание равно 4, а показатель равен 3.
2. Показатель указывает число одинаковых множителей, поэтому записываем три четвёрки: 4 · 4 · 4.
3. Сначала умножаем первые две: 4 · 4 = 16. Затем 16 · 4 = 64.

Ответ: 4³ = 64. Запись произведения помогает убедиться, что множителей именно три, а не два или четыре.

Задача. Найдите значение 7⁴ по таблице основных степеней.

1. Определяем основание и показатель: основание — 7, показатель — 4.
2. В таблице находим строку с основанием 7. В ней выбираем столбец «Четвёртая степень», потому что показатель равен четырём.
3. На пересечении строки и столбца находим 2401. Это значение степени 7⁴.

Ответ: 7⁴ = 2401. Для проверки можно раскрыть степень как 7 · 7 · 7 · 7, но таблица позволяет получить результат быстрее.

Задача. Сравните 3⁵ и 5³, не вычисляя каждую степень заново.

1. Для 3⁵ выбираем строку 3 и столбец пятой степени; таблица даёт 243.
2. Для 5³ выбираем строку 5 и столбец третьей степени; получаем 125.
3. Сравниваем результаты: 243 больше 125. Значит, большей является степень, значение которой оказалось больше.

Ответ: 3⁵ > 5³. Здесь показатели различаются, поэтому сравнивать только основания недостаточно: нужно узнать значения обеих степеней.

Типичные ошибки

Ошибка — считать aⁿ произведением основания на показатель. Её допускают, потому что запись степени содержит два числа и похожа на указание умножить их. Но показатель сообщает количество одинаковых множителей, поэтому aⁿ нужно раскрывать как произведение n чисел a. Проверьте себя: в записи 3⁴ должно быть четыре тройки, а не вычисление 3 · 4.

Можно перепутать основание и показатель, особенно если читать запись невнимательно. Основание стоит внизу, а показатель пишется маленькой цифрой сверху справа; например, в 8² основание — 8, показатель — 2. Ошибка меняет способ раскрытия степени и результат. Перед вычислением назовите оба числа и проверьте, какое из них повторяется в произведении.

Часто ошибочно считают, что 2⁴ = 2 · 4. Так происходит, если принять показатель за второй множитель, хотя он показывает количество двоек. Правильно записать четыре множителя: 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Для самопроверки посчитайте число множителей в произведении: их должно быть столько же, сколько показывает верхняя цифра.

При чтении таблицы можно выбрать столбец по основанию, а строку — по показателю. Это случается, если не заметить, что названия столбцов обозначают степени, а числа в строках — основания. Проверяйте подписи: сначала ищите основание в первом столбце, затем нужный показатель в заголовке. Например, для 7⁴ нужны строка 7 и столбец четвёртой степени.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь умножать натуральные числа и понимать, что произведение может состоять из одинаковых множителей. Если это умение уже освоено, степень можно раскрыть и вычислить по шагам. Без него легко перепутать повторное умножение с умножением основания на показатель.

Таблица степеней помогает выполнять вычисления при преобразовании выражений и работе с многочленами. Она также пригодится при изучении свойств степеней: готовые значения можно использовать для проверки результатов и понимания закономерностей. Умение читать таблицу ускоряет вычисления, но смысл записи степени всё равно нужно понимать.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
• В записи aⁿ число a — основание, а n — показатель.
• Квадрат числа — его вторая степень.
• Куб числа — его третья степень.
• Показатель указывает количество множителей, а не действие умножения на это число.
• Таблица помогает быстро находить значения основных степеней.