§ 16. Таблица основных степеней

Определения и обозначения

Степенью с натуральным показателем называют произведение одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a нужно взять множителем n раз: aⁿ = a · a · ... · a. Такая запись удобна, когда одно и то же число приходится умножать на себя несколько раз.

Основание степени — число a, которое возводят в степень. В записи 6⁴ основание равно 6: именно оно повторяется в произведении 6 · 6 · 6 · 6. Умение находить основание помогает понять, какое число следует перемножать при раскрытии степени.

Показатель степени — число n, записанное справа сверху от основания. Он показывает, сколько одинаковых множителей входит в произведение, а не на какое число надо умножить основание. Например, показатель 4 в записи 6⁴ означает четыре множителя, поэтому он нужен для правильного раскрытия степени.

Квадрат числа — его вторая степень, a², а куб числа — третья степень, a³. Квадрат раскрывается как a · a, куб — как a · a · a. Эти короткие названия часто используют вместо выражений «вторая степень» и «третья степень», чтобы быстрее говорить и записывать вычисления.

Как это устроено

Чтобы вычислить степень по определению, нужно сначала заменить её произведением одинаковых множителей, а потом перемножить их. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Такой порядок нужен, потому что показатель задаёт количество множителей, а не действие умножения основания на показатель.

Название «квадрат числа» связано с геометрией: площадь квадрата находят умножением его стороны на саму себя. Если сторона равна a, площадь равна a · a = a². Куб числа получил название по похожей причине: объём куба равен длине ребра, умноженной на себя три раза, то есть a · a · a = a³.

Таблицу основных степеней составляют, последовательно подставляя числа в нужные записи. Для каждого натурального n находят n² и n³, а отдельно вычисляют степени 2 и 3 с показателем n. Например, в столбце 2ⁿ числа удваиваются при увеличении показателя на единицу, потому что к предыдущему произведению добавляется ещё один множитель 2.

Чтобы быстро найти степень по таблице, сначала различите основание и показатель, а затем выберите соответствующий столбец. Для 8² потребуется строка с числом 8 и столбец «Квадрат n²», а для 2⁸ — строка с показателем 8 и столбец «Степень 2ⁿ». Проверить ответ можно обратным действием, если оно удобно, или оценкой: например, 8² должно быть больше 8, поскольку число 8 умножается само на себя.

Основание и показатель отвечают на разные вопросы: основание указывает, какое число повторяется, а показатель — сколько раз. Поэтому 2³ означает 2 · 2 · 2 и равно 8, но не 2 · 3. Если перепутать их роли, получится другое вычисление, поэтому перед решением полезно вслух прочитать запись: «два в третьей степени».

Таблица основных степеней

Для квадрата или куба найди число n в первом столбце и прочитай значение в столбце n² или n³. Для степеней 2 и 3 показатель n также указан в первом столбце, но результат нужно брать в столбце 2ⁿ или 3ⁿ. Перед чтением проверь и число, и заголовок столбца: так не перепутаешь, например, 2⁹ с 9².

Разбор задач

Найти 7² и 4³, записав каждую степень в виде произведения

В обеих записях основание показывает повторяющееся число, а показатель — количество таких множителей. Сначала разложим степени по определению, а затем выполним умножение. Так мы проверим, что не приняли показатель за множитель.

1. В 7² основание 7, показатель 2. Записываем два множителя: 7² = 7 · 7.

2. Перемножаем: 7 · 7 = 49, значит, 7² = 49.

3. В 4³ основание 4, показатель 3. Записываем три множителя: 4³ = 4 · 4 · 4.

4. Считаем последовательно: 4 · 4 = 16, затем 16 · 4 = 64, значит, 4³ = 64.

Ответ: 7² = 49, 4³ = 64. Запись произведений показывает, что в первом случае число 7 повторяется дважды, а во втором число 4 — трижды.

С помощью таблицы найти квадрат 9 и вычислить 2⁹

В первой части нужно найти квадрат числа 9, поэтому выбираем столбец «Квадрат n²». Во второй части основание равно 2, а показатель равен 9, значит, нужен столбец «Степень 2ⁿ». Разделение на два поиска помогает не перепутать квадрат девяти и девятую степень двойки.

1. Находим строку n = 9 и пересекаем её со столбцом «Квадрат n²». Получаем 9² = 81.

2. В той же строке выбираем столбец «Степень 2ⁿ». Там указано значение 2⁹ = 512.

3. Проверяем, что использовали разные заголовки: в первом случае основание 9 возводится в квадрат, а во втором число 2 возводится в степень 9.

Ответ: квадрат числа 9 равен 81, а 2⁹ = 512. Для контроля можно оценить порядок чисел: 9² — число около сотни, а девять последовательных множителей 2 дают 512.

Сравнить 5³ и 3⁵, используя таблицу основных степеней

Сравнивать степени только по виду записи нельзя: в первой больше основание, а во второй больше показатель. Поэтому найдём каждое значение отдельно и лишь потом сравним полученные числа. Таблица помогает быстро выполнить оба поиска.

1. Для 5³ находим строку n = 5 и столбец «Куб n³». Получаем 5³ = 125.

2. Для 3⁵ находим строку n = 5 и столбец «Степень 3ⁿ». Получаем 3⁵ = 243.

3. Сравниваем результаты: 125 меньше 243, следовательно, 5³ меньше 3⁵.

Ответ: 5³ < 3⁵. Значения нужно искать по разным столбцам: куб числа 5 и пятая степень числа 3 — не одна и та же запись.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что aⁿ означает a · n. Так бывает, когда верхнее число воспринимают как обычный множитель, хотя оно обозначает количество повторений основания. Для проверки раскрой степень: например, 3⁴ — это четыре тройки, а не 3 · 4.

Ошибка: путать квадрат числа с удвоением. Запись a² похожа на умножение на 2, но квадрат означает a · a, тогда как удвоение записывают как 2a. Подставь небольшое число: при a = 3 квадрат равен 9, а удвоенное число — 6.

Ошибка: думать, что изменение основания или показателя всегда одинаково влияет на результат. Их роли различны, поэтому нельзя определить значение степени по одному лишь виду записи или сравнению чисел. Вычисли каждую степень отдельно, раскрывая произведение или обращаясь к подходящему столбцу таблицы.

Ошибка: брать в таблице значение из соседней строки или столбца. Такое случается, если смотреть только на число, не проверяя заголовок. Перед тем как записать ответ, сверь строку с нужным основанием или показателем, а столбец — с видом степени.

Связь с другими темами

Чтобы работать со степенями, нужно уметь умножать натуральные числа и понимать, как записывают произведение одинаковых множителей. Если умножение ещё вызывает затруднение, вычисления степеней тоже будут даваться медленнее: сначала стоит повторить таблицу умножения и порядок действий.

Таблица основных степеней помогает выполнять вычисления с одночленами и многочленами — выражениями, в которых встречаются буквенные степени. Позже свойства степени позволят упрощать такие записи, не перемножая каждый раз все множители. Поэтому важно уверенно читать основание и показатель и знать значения часто встречающихся степеней.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n множителей, каждый из которых равен a.
• В записи aⁿ число a — основание, а число n — показатель.
• Квадрат числа a — это a² = a · a.
• Куб числа a — это a³ = a · a · a.
• Таблицу основных степеней используют для быстрого нахождения значений.