"Алгебра", Мордкович А.Г.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Её свойства помогают быстрее умножать и делить такие произведения, упрощать выражения и работать с буквами. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают, а при возведении степени в степень — перемножают. Произведение и частное можно возвести в степень, применив её к каждому множителю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей: a⁴ = a · a · a · a. Такая запись короче, чем перечисление всех множителей, и особенно удобна, когда их много. Например, вместо пяти одинаковых множителей a можно записать a⁵.
Основание степени — число или выражение, которое возводят в степень. В записи a⁴ основание — a, а в записи 3² основание — 3. Знание основания помогает понять, можно ли применить правила умножения или деления степеней: для этих правил основания должны совпадать.
Показатель степени — натуральное число, показывающее, сколько одинаковых множителей входит в произведение. В записи a⁴ показатель равен 4, значит, множитель a повторён четыре раза. По показателю можно определить длину произведения, не раскрывая его полностью.
Степень произведения — выражение вида (ab)ⁿ, которое можно представить как произведение степеней множителей: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Скобки показывают, что в степень возводится всё произведение ab. Это правило позволяет отдельно работать с буквенной и числовой частями выражения.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Причина видна, если раскрыть степени: в первой записи основание повторено m раз, а во второй — n раз. После соединения произведений получается m + n одинаковых множителей, поэтому их можно записать одной степенью.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при m > n. В числителе и знаменателе есть одинаковые множители a, и их можно сократить попарно. Если в числителе множителей больше, оставшиеся множители образуют степень с показателем m − n; основание не должно быть нулём, иначе делить пришлось бы на ноль.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Внешний показатель n означает, что выражение aᵐ повторяется множителем n раз. Каждый такой множитель содержит m оснований a, значит, всего основание встречается m · n раз; так и получается показатель mn.
Степень произведения равна произведению степеней множителей: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Если раскрыть скобки как повторение произведения ab, то каждый раз в нём встретятся и a, и b. За n повторений появится n множителей a и n множителей b, которые можно сгруппировать отдельно.
Степень частного равна частному степеней числителя и знаменателя: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ при b ≠ 0. Частное, возведённое в степень, означает, что дробь повторяется множителем n раз. Тогда числитель повторяется n раз и знаменатель тоже, поэтому отдельно образуются их степени; нулевой знаменатель недопустим.
| Свойство | Запись | Условия |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | m и n — натуральные числа |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0, m > n |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | m и n — натуральные числа |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | n — натуральное число |
| Степень частного | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | b ≠ 0, n — натуральное число |
Сначала найди в выражении действие, которое соответствует одной из строк таблицы, и проверь условия. Затем перепиши выражение по правилу, не меняя основания и порядок действий без причины. Если преобразований несколько, выполняй их по очереди.
Здесь перемножаются степени с одинаковым основанием 3. Значит, можно объединить все множители тройки в одну степень. Показатели складываются, потому что число одинаковых множителей в двух частях произведения суммируется.
Ответ: 3⁶.
В выражении есть возведение степени в степень и деление степеней с одинаковым основанием. Удобно сначала преобразовать скобки, чтобы получить одну степень с основанием x. Затем можно сократить одинаковые множители и записать результат степенью; условие x ≠ 0 позволяет выполнять деление.
Ответ: x⁷.
В первом множителе степень относится ко всему произведению 2a, поэтому нужно возвести в третью степень и число 2, и букву a. Во втором множителе сначала перемножаются показатели при возведении степени в степень. После этого степени с основанием a можно объединить, а числовой множитель оставить отдельно.
Ответ: 8a⁷.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: например, ошибочно получают a⁶ из a² · a³. Так происходит из-за смешения двух разных правил. Проверь себя раскрытием: a² · a³ содержит пять множителей a, поэтому верно a⁵.
В выражении (aᵐ)ⁿ могут сложить показатели, хотя нужно их перемножить. Ошибка возникает потому, что правило умножения степеней запоминают без уточнения действия. Раскрой скобки: степень aᵐ повторяется n раз, значит, всего получается mn множителей a.
Правило деления применяют при нулевом основании или когда показатель числителя меньше показателя знаменателя, не проверяя условия. В первом случае делить на ноль нельзя, а случай m < n не соответствует записи с натуральным показателем m − n из этой формулы. Перед преобразованием проверь a ≠ 0 и m > n.
При возведении произведения в степень иногда возводят только один множитель: пишут (ab)ⁿ = abⁿ. Скобки ошибочно воспринимают как часть записи, хотя показатель относится ко всему произведению. Для проверки раскрой квадрат, например: (ab)² = ab · ab = a²b².
Для работы со степенями нужно уметь понимать запись произведения одинаковых множителей, а также выполнять умножение и деление. Эти действия помогают увидеть, почему меняются показатели, а не заучивать правила без объяснения. Если раскрытие степени вызывает затруднение, сначала запиши её как произведение.
Свойства степеней используют при преобразовании алгебраических выражений и сокращении дробей. Они также помогают приводить к удобному виду одночлены — произведения чисел и буквенных степеней — и выполнять действия с многочленами. Умение выбирать нужное свойство делает вычисления короче и снижает риск ошибки.
Почему при умножении степеней показатели складываются?
Показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение. При умножении aᵐ на aⁿ все одинаковые множители соединяются, поэтому их общее количество равно m + n.
Чем правило умножения степеней отличается от правила возведения степени в степень?
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. В выражении (aᵐ)ⁿ одну и ту же степень повторяют n раз, поэтому показатели перемножают: aᵐⁿ.
Можно ли делить степени с одинаковым основанием, если основание равно нулю?
Нет, делить на ноль нельзя. При нулевом основании знаменатель степени с натуральным показателем равен нулю, поэтому частное не определено.
Как возвести в степень произведение или дробь?
Каждый множитель возводят в эту степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Для частного поступают так же с числителем и знаменателем: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, причём b ≠ 0.
Можно ли применять свойства степеней, если основания разные?
Правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ и правило деления степеней требуют одинакового основания. Если основания разные, сначала можно попробовать преобразовать их к одному основанию, но складывать или вычитать показатели напрямую нельзя.
§ 17. Свойства степени с натуральными показателями
