"Алгебра", Мордкович А.Г.
Если у степеней одинаковые показатели, их можно объединить, изменив основания: при умножении основания перемножают, а при делении одно основание делят на другое. Показатель при этом остаётся прежним: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ и aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ. Эти правила помогают быстрее считать и упрощать выражения. Для деления нужно проверить, что знаменатель не равен нулю, а при отрицательном основании — внимательно учитывать его знак.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью произведения называют выражение вида (ab)ⁿ, где a и b — множители, а n — общий показатель степени. В этой теме важно, что такое выражение связано с произведением степеней aⁿ и bⁿ. Это обозначение позволяет заменить две степени одной и упростить вычисление.
Умножением степеней с одинаковыми показателями называют преобразование aⁿ · bⁿ в степень произведения (ab)ⁿ. Здесь показатель n общий для обеих степеней. Правило помогает объединять основания, не записывая длинное произведение множителей.
Степенью частного называют выражение вида (a/b)ⁿ, где b ≠ 0. Оно связано с частным степеней aⁿ и bⁿ. Условие о ненулевом b необходимо, потому что делить на ноль нельзя.
Деление степеней с одинаковыми показателями — это преобразование aⁿ : bⁿ в степень частного (a/b)ⁿ при b ≠ 0. Показатель при таком преобразовании не меняется, а основания образуют частное. Это правило удобно, когда частное оснований вычислить легче, чем отдельно возводить числа в степень.
Представим aⁿ · bⁿ как произведение n множителей a и n множителей b. Например, при n = 3 получаем a · a · a · b · b · b. Каждый множитель a можно соединить с одним множителем b, потому что от каждого основания имеется по три одинаковых множителя. Так получаются три пары ab, то есть (ab)³.
При любом натуральном n происходит то же самое: из n множителей a и n множителей b составляются n пар. Каждая пара равна ab, поэтому результат — n одинаковых множителей ab, или (ab)ⁿ. Показатель остаётся прежним, так как число пар равно исходному числу множителей в каждой степени. Складывать показатели здесь не нужно: складывают их при умножении степеней с одинаковым основанием.
Для деления также запишем степени как произведения одинаковых множителей: aⁿ : bⁿ = (a · a · … · a) : (b · b · … · b). Если b не равно нулю, каждую пару соответствующих множителей можно заменить отношением a/b. Таких пар n, значит, в результате будет n множителей a/b, то есть (a/b)ⁿ. Именно поэтому и при делении показатель сохраняется, а делятся основания.
Условие b ≠ 0 обязательно: иначе в выражении возникнет деление на ноль. При натуральном n ненулевое число b даёт ненулевую степень bⁿ, поэтому исходное частное aⁿ : bⁿ определено. Перед применением правила следует проверить именно основание знаменателя. Нельзя считать, что условие можно пропустить, если запись степеней выглядит привычно.
Эти правила похожи на правила для степеней с одинаковым основанием, но действуют иначе. Когда одинаковы показатели, основания перемножают или делят, а показатель сохраняют. Когда одинаковы основания, основание остаётся прежним, а показатели при умножении складывают, при делении вычитают. Чтобы выбрать правило, сначала сравни, что именно одинаково: показатели или основания.
| Действие | Условие | Правило | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение | Общий показатель n | aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ | 2³ · 5³ = 10³ |
| Деление | Общий показатель n; b ≠ 0 | aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ | 12² : 4² = 3² |
Сначала проверь, что показатели одинаковы, и выбери нужную строку таблицы. Затем выполни действие с основаниями, сохранив общий показатель. При делении обязательно проверь, что основание в знаменателе не равно нулю.
Задача: упростите 3² · 4². Показатели у степеней равны, поэтому можно перемножить основания и оставить показатель 2. Это удобнее, чем сначала вычислять каждую степень отдельно.
Ответ: 12². Если требуется вычислить значение, получим 12 · 12 = 144. Преобразование не изменило значение выражения, а только сделало вычисления короче.
Задача: вычислите 18² : 6². Показатели одинаковы, значит, частное степеней можно заменить квадратом частного оснований. Так сначала получится простое число, которое затем легко возвести в степень.
Ответ: 9. Можно проверить результат отдельно: 18² = 324, 6² = 36, а 324 : 36 = 9. Оба способа дают одинаковое значение.
Задача: упростите (−2)³ · 5³ : 10³. У всех степеней показатель 3, поэтому основания можно объединить по порядку действий: сначала выполняем умножение, затем деление. Скобки у −2 показывают, что отрицательное число является основанием целиком.
Ответ: −1. Знак минус сохраняется, поскольку основание степени отрицательное, а показатель 3 нечётный. Скобки помогают не потерять знак при преобразовании.
Ошибка: складывать показатели при умножении степеней с одинаковыми показателями. Так делают, вспоминая правило для одинакового основания, но здесь основания могут быть разными. Проверь себя: при преобразовании aⁿ · bⁿ число n остаётся прежним, например 2³ · 5³ = 10³.
Ошибка: перемножать или делить показатели вместо оснований. В этом правиле действие выполняется именно с основаниями, потому что объединяются соответствующие множители. Для проверки подчеркни основания и выполни действие только между ними, оставив показатель без изменения.
Ошибка: применять правило деления, не проверив знаменатель. Иногда ученик сразу делит основания, не замечая, что деление на ноль не определено. Подставь значение знаменателя: если b = 0, выражение aⁿ : bⁿ не имеет смысла и правило применять нельзя.
Ошибка: терять скобки или знак отрицательного основания, например принимать (−2)³ за 2³. Это происходит, когда минус считают отдельным знаком перед степенью, хотя в скобках основанием является всё число −2. Чтобы проверить себя, вычисли основание в скобках и только потом возводи результат в степень: (−2)³ = −8.
Для работы с правилами нужно уметь записывать степень как произведение одинаковых множителей и вычислять степени с натуральным показателем. Это помогает понять, откуда берутся преобразования, а не только запомнить формулы. Также важно различать правила для степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями.
Новые правила пригодятся при упрощении числовых и буквенных выражений, а также при сокращении дробей. Они позволяют объединять степени и выполнять действия с основаниями до возведения в степень. Позже этот навык будет полезен и при преобразовании более сложных алгебраических выражений.
Почему при умножении степеней с одинаковыми показателями показатель не складывают?
Потому что мы объединяем множители a и b в пары, а не дописываем к одной степени множители другой. Получается n пар ab, то есть (ab)ⁿ. Показатель складывают при умножении степеней с одинаковым основанием.
Можно ли применять правило, если одно из оснований отрицательное?
Да, если показатель натуральный: правило работает и для отрицательных оснований. Нужно сохранять скобки и учитывать знак при вычислении, например (−2)³ = −8.
Почему при делении основание в знаменателе не должно быть равно нулю?
Деление на ноль не определено. Если b = 0, то bⁿ тоже равно нулю при натуральном n, поэтому частное aⁿ : bⁿ невозможно.
Чем правило для одинаковых показателей отличается от правила для одинаковых оснований?
При одинаковых показателях перемножают или делят основания, а показатель сохраняют. При одинаковых основаниях основания остаются прежними, а при умножении показатели складывают, при делении — вычитают.
Можно ли сначала объединить несколько степеней с одинаковыми показателями, а потом вычислять?
Да, если показатель у всех степеней один и тот же. Например, aⁿ · bⁿ · cⁿ = (abc)ⁿ. При делении нужно также следить, чтобы основания в знаменателях не были равны нулю.
§ 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
