§ 14. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Определения и обозначения

Степенью с натуральным показателем называют произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. В записи aⁿ число a — основание, то есть повторяющийся множитель, а n — показатель, который сообщает, сколько раз его берут. Различать эти части нужно, чтобы понимать, к чему относится каждое правило.

Степени с одинаковыми показателями — это степени, у которых числа в верхней записи равны, например 2⁵ и 7⁵. Их основания при этом могут быть разными: в примере это 2 и 7. Совпадение показателей позволяет объединить основания по специальным правилам. Если одинаковы основания, а показатели разные, действуют другие формулы.

Умножение степеней с одинаковыми показателями записывают так: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Это означает, что вместо двух степеней можно возвести в n-ю степень произведение их оснований. Например, 2³ · 5³ можно заменить на (2 · 5)³. Формула полезна, когда произведение оснований проще вычислить, чем две отдельные степени.

Деление степеней с одинаковыми показателями записывают так: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ при b ≠ 0. Здесь основания делят, а общий показатель сохраняют. Ограничение b ≠ 0 необходимо потому, что bⁿ становится знаменателем исходной дроби, а на ноль делить нельзя. Поэтому перед применением формулы проверяют основание степени в знаменателе.

Как это устроено

Раскроем степени в произведении: aⁿ · bⁿ = (a · a · … · a) · (b · b · … · b). В каждой группе ровно n множителей, поэтому их можно попарно объединить: a · b, затем ещё a · b и так далее. Получится n одинаковых множителей ab, то есть (ab)ⁿ. Именно поэтому основания перемножают, а показатель не меняют.

Для деления представим степени как дробь: aⁿ : bⁿ = (a · a · … · a) / (b · b · … · b). При b ≠ 0 можно разделить числитель и знаменатель на отдельные множители, получив n одинаковых дробей a : b. Их произведение равно (a : b)ⁿ. Если b = 0, в знаменателе изначально получается ноль, поэтому такое выражение не имеет значения и сокращать его нельзя.

Эти правила отличаются от правил для одинаковых оснований. Если основания совпадают, при умножении объединяют цепочки одинаковых множителей и складывают показатели: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. В этой теме одинаковы показатели, поэтому удобнее объединять основания, а число повторений оставлять прежним. Перед вычислением спроси себя, что именно совпадает: основания или показатели.

Отрицательное основание тоже можно подставлять в правила, но его записывают в скобках: (−3)⁴. Скобки показывают, что минус относится ко всему основанию, а не является знаком отдельного числа перед степенью. После объединения оснований учитывают чётность показателя: отрицательное число в чётной степени даёт положительный результат, а в нечётной — отрицательный. Например, (−2)³ = −8, но (−2)⁴ = 16.

В выражении из нескольких действий сначала ищут степени с одинаковыми показателями, которые можно объединить, и проверяют условия для деления. Затем вычисляют произведение или частное оснований, возводят полученный результат в степень и выполняют оставшиеся действия. Если основание содержит переменную, отдельно отмечают значения, при которых знаменатель оказался бы нулём. Такой порядок помогает не пропустить ни правило, ни ограничение.

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Сначала найди, совпадают ли показатели у степеней; только после этого выбирай нужную строку таблицы. При делении обязательно проверь ненулевое основание знаменателя. Если показатели не равны, эти формулы напрямую применять нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2³ · 5³. Показатели обеих степеней равны трём, значит, основания можно перемножить. Это короче, чем отдельно находить 2³ и 5³, а затем перемножать результаты.

1. Применяем правило умножения: 2³ · 5³ = (2 · 5)³.
2. Сначала вычисляем основание: 2 · 5 = 10, поэтому получаем 10³.
3. Вычисляем степень: 10³ = 10 · 10 · 10 = 1000.

Ответ: 1000. Здесь основание произведения получилось удобным для вычисления. Показатель 3 сохранился на всём шаге объединения степеней.

Задача 2. Упростите (−3)⁴ : 6⁴. Показатели равны, поэтому делим основания и оставляем показатель. Основание знаменателя 6 не равно нулю, следовательно, правило применять можно. Скобки вокруг −3 показывают, что отрицательное число целиком является основанием.

1. Записываем деление одной степенью: (−3)⁴ : 6⁴ = ((−3) : 6)⁴.
2. Упрощаем основание: (−3) : 6 = −½, поэтому получаем (−½)⁴.
3. Показатель чётный, значит, результат положительный: (−½)⁴ = 1/16.

Ответ: 1/16. Знак результата можно проверить по чётности степени. Если бы показатель был нечётным, отрицательное основание дало бы отрицательное значение.

Задача 3. Упростите (2x)³ · (3x)³ : (−2x)³ при x ≠ 0. У всех трёх степеней одинаковый показатель 3, поэтому можно объединить основания. Условие x ≠ 0 гарантирует, что основание степени в знаменателе −2x не равно нулю. Скобки сохраняют знак отрицательного основания.

1. Объединяем основания по правилам умножения и деления: ((2x) · (3x) : (−2x))³.
2. При x ≠ 0 сокращаем x: (6x² : (−2x))³ = (−3x)³.
3. Возводим произведение в степень: (−3x)³ = (−3)³ · x³ = −27x³.

Ответ: −27x³ при x ≠ 0. Отрицательный знак появился из-за нечётного показателя у основания −3. Условие x ≠ 0 сохраняется, поскольку исходное выражение содержит деление на −2x.

Типичные ошибки

Складывают показатели. Ошибка возникает, когда правило для одинаковых оснований переносят на случай одинаковых показателей. В выражении 2³ · 5³ нельзя складывать тройки: основания разные. Для самопроверки сравни основания и показатели отдельно и, если нужно, раскрой степени как произведения.

Записывают aⁿ · bⁿ как (a + b)ⁿ. Здесь путают умножение исходных степеней со сложением их оснований. По формуле основания нужно перемножить: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Проверить себя можно на числах: 2² · 3² = 36, а (2 + 3)² = 25, значит, сложение не подходит.

Делят при b = 0. Такую ошибку допускают, если смотрят только на одинаковые показатели и забывают проверить делитель. При нулевом основании знаменатель равен нулю, а деление на ноль не определено. Перед применением формулы проверь, что основание степени в знаменателе отлично от нуля.

Теряют скобки у отрицательного основания. Запись −3² обычно означает минус перед 3², а (−3)² — квадрат всего числа −3; это разные выражения. Ошибка особенно заметна, когда неверно определяют знак результата. Ставь скобки вокруг отрицательного основания и проверяй: при чётном показателе степень положительна, при нечётном — отрицательна.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в этих правилах, нужно знать, что натуральная степень обозначает произведение одинаковых множителей, и уметь умножать и делить числа. Также пригодятся правила действий с отрицательными числами: они помогают правильно определить знак результата. Позже правила объединения степеней будут использоваться при упрощении алгебраических выражений. Они также служат основой для изучения степеней с нулевым и целым показателями.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковыми показателями перемножают основания, а показатель оставляют.
• При делении степеней с одинаковыми показателями делят основания, а показатель оставляют.
• Делитель в правиле деления не должен быть равен нулю.
• Эти правила применяют, когда совпадают показатели, а не основания.
• Отрицательное основание заключают в скобки, чтобы не перепутать его знак и показатель.