"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Степени с одинаковыми показателями можно умножать и делить, объединяя их основания в одно действие. Например, aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ, а aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ, если b ≠ 0. Показатель при этом не меняется. Эти правила помогают быстрее вычислять значения и упрощать выражения с числами и буквами. Главное — не путать их с правилами для степеней с одинаковыми основаниями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — запись aⁿ, означающая произведение n одинаковых множителей, равных a. Например, a³ = a · a · a. Такое определение помогает раскрыть запись степени и понять, почему с ней можно выполнять некоторые действия быстрее.
Степени с одинаковыми показателями — это степени, у которых показатель один и тот же, например aⁿ и bⁿ. Основания a и b могут быть разными, но число множителей в каждой степени совпадает. Именно равенство показателей позволяет объединять множители попарно.
Умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменить возведением произведения оснований в ту же степень: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Например, 2³ · 5³ = (2 · 5)³. Это определение правила даёт удобный способ вычислять произведение, не находя сначала значения каждой степени отдельно.
Деление степеней с одинаковыми показателями можно заменить возведением частного оснований в ту же степень: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ, если b ≠ 0. Основание b должно быть ненулевым, потому что делить на ноль нельзя. Это правило сокращает вычисления и помогает преобразовывать выражения.
Чтобы объяснить правила, сначала раскроем смысл степени: aⁿ — это n множителей a, перемноженных между собой. Например, a⁴ = a · a · a · a. Показатель показывает количество повторений основания, а не отдельное действие с ним. Поэтому в рассуждениях о степенях удобно возвращаться к записи через множители.
Рассмотрим произведение aⁿ · bⁿ. Раскроем обе степени: получится n множителей a и n множителей b, например при n = 3 это a · a · a · b · b · b. Перемножение можно переставить и сгруппировать попарно: (a · b) · (a · b) · … · (a · b). Таких пар ровно n, значит, полученное произведение равно (ab)ⁿ.
Для деления представим числитель и знаменатель как произведения: aⁿ : bⁿ = (a · a · … · a) : (b · b · … · b). В числителе и знаменателе одинаковое число множителей, поэтому дробь можно записать как произведение n одинаковых дробей a : b. Это даёт (a : b)ⁿ. Такой переход возможен только при b ≠ 0: иначе знаменатель исходной дроби равен нулю.
Не смешивай правило для одинаковых показателей с правилом для одинаковых оснований. В выражении aⁿ · bⁿ совпадают показатели, поэтому основания объединяют умножением, а n оставляют; при одинаковом основании aᵐ · aⁿ складывают показатели. Аналогично, здесь при делении оснований выполняют действие a : b, а не вычитают показатели. Оба правила выводятся из определения степени, но применяются к разным выражениям.
Основания могут быть отрицательными: определение степени как повторного умножения остаётся верным и для них. Например, (−2)³ означает (−2) · (−2) · (−2). Поэтому правила сохраняются, если показатель натуральный и основания записаны правильно. Для деления, кроме того, основание делителя должно быть ненулевым.
| Действие | Правило | Условие | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение | aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ | n — натуральное число | 2³ · 5³ = 10³ |
| Деление | aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ | n — натуральное число, b ≠ 0 | 6⁵ : (−2)⁵ = (−3)⁵ |
Сначала найди, какое действие выполняется, и проверь, что показатели одинаковы. Затем объедини основания, оставив показатель без изменений; при делении проверь, что основание делителя не равно нулю. Пример в последнем столбце показывает, как выглядит результат применения правила.
Показатели обеих степеней равны трём, поэтому подходит правило умножения степеней с одинаковыми показателями. Сначала объединим основания, чтобы получить одну степень, а затем вычислим её значение. Так не нужно отдельно находить 2³ и 5³.
Ответ: 1000.
У степеней одинаковый показатель 4, значит, можно перемножить основания. Скобки показывают, что основание первой степени целиком равно −3. После объединения получим степень отрицательного числа; её значение будет положительным, поскольку показатель чётный.
Ответ: 1296.
Здесь показатели тоже одинаковы, а основание делителя равно −2, то есть не равно нулю. Поэтому деление допустимо, и можно применить правило для степеней с одинаковыми показателями. Частное оснований отрицательное, а показатель нечётный, следовательно, результат будет отрицательным.
Ответ: −243.
Иногда при умножении перемножают основания и одновременно складывают показатели. Так происходит, когда правило для одинаковых оснований переносят на степени с одинаковыми показателями. Проверь, что именно совпадает в примере: если показатели одинаковы, используй (ab)ⁿ и оставь показатель прежним.
При делении могут вычесть показатели, хотя основания разные. Это правило относится к делению степеней с одинаковым основанием, а здесь одинаковы показатели. Чтобы проверить себя, раскрой степени через множители: станет видно, что нужно разделить основания и сохранить число повторений.
Запись aⁿ · bⁿ = (a + b)ⁿ неверна: при умножении степеней складывать основания нельзя. Возможно, знак умножения в исходном выражении ошибочно заменили сложением. Подставь простые числа, например a = 2, b = 3, n = 2: 2² · 3² = 36, а (2 + 3)² = 25, результаты не совпадают.
Нельзя применять правило деления, не проверив основание делителя. Если оно равно нулю, исходное выражение означает деление на ноль и не имеет значения. Перед преобразованием найди основание именно второй степени и убедись, что оно не равно нулю.
Для работы с правилом нужно знать определение степени с натуральным показателем: оно объясняет, почему множители можно группировать. Также пригодятся действия с целыми числами и дробями, ведь после преобразования предстоит перемножить или разделить основания. При отрицательных основаниях особенно важно правильно учитывать знак и скобки.
Эти правила используют при преобразовании числовых и буквенных выражений и при упрощении вычислений: вместо нескольких степеней можно получить одну. Умение различать одинаковые основания и одинаковые показатели понадобится и при дальнейшей работе со степенями. Перед каждым преобразованием полезно определить, какая именно часть выражений совпадает.
Почему при умножении степеней с одинаковыми показателями перемножают основания?
Каждая степень — это произведение одинаковых множителей. Если показатели равны, множителей в обеих степенях поровну, поэтому их можно объединить попарно: a · b повторяется n раз. Получается (ab)ⁿ.
Что происходит с показателем при умножении таких степеней?
Показатель сохраняется: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Число множителей не меняется, меняются только сами множители — вместо отдельных a и b берётся произведение ab.
Можно ли применять правило деления, если основание делителя равно нулю?
Нет. Делить на ноль нельзя, поэтому при b = 0 выражение aⁿ : bⁿ не имеет смысла. Перед применением правила нужно проверить, что основание делителя ненулевое.
Чем это правило отличается от умножения степеней с одинаковым основанием?
При одинаковых показателях перемножают основания и сохраняют показатель: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. При одинаковом основании показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Это разные правила для разных случаев.
Работают ли правила, если одно из оснований отрицательное?
Да, отрицательное основание допустимо, если показатель натуральный. При делении дополнительно требуется, чтобы основание делителя было не равно нулю. Скобки помогают не спутать отрицательное основание с вычитанием.
§ 14. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
