"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает компактно записывать большие произведения и упрощать вычисления и буквенные выражения. Для степеней с одинаковым основанием при умножении складывают показатели, а при делении вычитают. При возведении степени в степень показатели перемножают; степень произведения или частного распределяют на его множители. Каждое правило применяют только при выполнении нужных условий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множителей n. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись нужна, чтобы короче обозначать длинное умножение одного и того же числа или выражения.
Основание степени — число или выражение, которое возводят в степень. В записи aⁿ основание — a, а в записи (x + 2)³ основание — всё выражение x + 2. По основанию можно понять, какой множитель повторяется.
Показатель степени — натуральное число, показывающее, сколько раз основание входит множителем. В записи 7⁴ показатель равен четырём, значит, множитель 7 повторяется четыре раза. Показатель помогает не пересчитывать множители по отдельности и применять правила степеней.
Возведение в степень — действие, которым находят значение степени; например, a³ = a · a · a. Если a = 2, то 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Чтобы вычислить степень, нужно повторить основание как множитель указанное число раз, а затем выполнить умножение.
При умножении степеней с одинаковым основанием множители можно выписать подряд. В произведении aᵐ · aⁿ первая степень содержит m множителей a, а вторая — n таких же множителей. Всего их m + n, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Если aᵐ : aⁿ и m ≥ n, можно убрать n пар множителей, и в числителе останется m − n множителей a. Поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Основание не может быть нулём, поскольку деление на ноль не определено; условие m ≥ n сохраняет натуральный показатель результата.
Степень степени раскрывается как повторное умножение одной и той же степени. В выражении (aᵐ)ⁿ группа из m множителей a повторяется n раз. Всего получится m · n множителей a, поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶.
Чтобы возвести произведение в степень, нужно повторить всё произведение нужное число раз. В выражении (ab)ⁿ множитель a встречается n раз и множитель b тоже встречается n раз. Их можно сгруппировать отдельно, поэтому (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Правило действует и тогда, когда множители записаны буквами или числами.
Для частного рассуждение похоже: дробь a/b при возведении в степень повторяется как множитель n раз. Тогда числитель a умножается сам на себя n раз, и знаменатель b — тоже n раз. Получаем (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, причём b ≠ 0, иначе исходное частное не имеет смысла.
| Свойство | Формула | Ограничения |
|---|---|---|
| Произведение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | m, n — натуральные числа |
| Частное степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0, m ≥ n |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | m, n — натуральные числа |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | n — натуральное число |
| Степень частного | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | b ≠ 0, n — натуральное число |
Сначала найди, к какому виду относится выражение: произведение, частное или степень степени. Затем сверь основания и ограничения в последнем столбце. После преобразования проверь, что показатель и основание записаны правильно.
Задача 1. Упростите 3⁴ · 3². Здесь основания одинаковые, а между степенями стоит умножение. Значит, все множители 3 можно объединить в одну степень, сложив показатели. Решение: 3⁴ · 3² = 3⁴⁺² = 3⁶. Ответ: 3⁶.
Задача 2. Упростите (−2x³)². В скобках стоит произведение −2 и x³, поэтому квадрат относится к обоим множителям. Чётная степень отрицательного числа даёт положительный результат, а для степени степени показатели перемножаются. Решение: (−2x³)² = (−2)² · (x³)² = 4x⁶. Ответ: 4x⁶.
Задача 3. Упростите (5a)⁴ : 5² при a ≠ 0. Сначала раскроем степень произведения, чтобы получить степени с основанием 5. Затем разделим их, вычтя показатели; условие a ≠ 0 позволяет считать, что выражение определено. Решение: (5a)⁴ : 5² = 5⁴a⁴ : 5² = 5²a⁴ = 25a⁴. Ответ: 25a⁴.
При умножении степеней иногда складывают основания, например получают (a + a) вместо степеней. Так происходит, когда правило путают с обычным сложением, но оно работает только для одинаковых оснований и меняет показатели. Проверь запись: основание должно остаться тем же, а складываются только показатели.
Другая ошибка — перемножить показатели при умножении степеней с одинаковым основанием. Например, в a² · a³ получится a⁵, а не a⁶, потому что всего в произведении пять множителей a. Перемножают показатели только в выражении вида (a²)³, где повторяется целая степень.
Правило деления иногда используют при нулевом основании или когда показатель делителя больше показателя делимого. В первом случае делить нельзя, а во втором разность не будет натуральным показателем. Перед сокращением проверь, что a ≠ 0 и m ≥ n.
При возведении произведения в степень можно по ошибке возвести только первый множитель. Например, (ab)³ — это не a³b, ведь трижды повторяются оба множителя: (ab)(ab)(ab). Проверь, что показатель применён ко всем частям произведения в скобках.
Для работы со степенями нужно уметь записывать одинаковые множители в виде степени. Также пригодятся умножение и деление натуральных чисел: эти действия лежат в основе вычисления степени и применения её свойств.
Свойства степеней помогают преобразовывать буквенные выражения и упрощать одночлены. Например, с их помощью можно объединять множители с одинаковыми буквами и аккуратнее выполнять вычисления.
Дальше те же правила станут основой для работы со степенями с целыми показателями. Они также используются при записи чисел в стандартном виде, когда число представляют как произведение числа и степени десяти.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием складывают показатели?
Каждая степень — это повторение одного и того же множителя. При умножении aᵐ на aⁿ все множители a объединяются в одно произведение, всего их становится m + n. Поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Можно ли применять правило деления степеней, если основание равно нулю?
Нет, для деления основание должно быть ненулевым: на ноль делить нельзя. Поэтому правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ применяют только при a ≠ 0.
Чем отличается умножение степеней от возведения степени в степень?
При умножении степеней с одинаковым основанием множители соединяются, поэтому показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При возведении степени в степень повторяется целая группа множителей, поэтому показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Как возвести в степень произведение с отрицательным множителем?
Показатель нужно применить ко всем множителям: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Если отрицательный множитель возводится в чётную степень, его результат положительный, а в нечётную — отрицательный. Например, (−2x)² = 4x².
Что делать, если показатель делителя больше показателя делимого?
Тогда разность показателей будет отрицательной, а это не натуральный показатель. В рамках правила для натуральных показателей оно применяется при m ≥ n. Не следует записывать результат как степень с натуральным показателем, не изучив отдельно степени с целыми показателями.
§ 13. Свойства степени с натуральным показателем
