"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Степень с натуральным показателем помогает коротко записывать произведение одинаковых множителей и быстро преобразовывать выражения. Главное основание степени не меняется, а показатель показывает число повторений. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении вычитаются, а при возведении степени в степень перемножаются. Эти правила применяются также к произведениям и частным, но не к суммам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · ... · a, где множителей n. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись заменяет длинное повторное умножение и помогает компактно преобразовывать выражения.
Основание степени — число или выражение, которое повторяется множителем. В записи aⁿ основание — a, а в (x + 1)² основание — всё выражение x + 1. По основанию определяют, можно ли применять правила для одинаковых оснований.
Показатель степени — натуральное число, показывающее количество одинаковых множителей. В записи 7³ показатель равен 3, поэтому число 7 берут множителем три раза. Показатель помогает понять, сколько раз нужно повторить основание.
Степень произведения — запись, показывающая, как возвести произведение нескольких множителей в степень: (ab)ⁿ. Такое выражение можно преобразовать в произведение степеней: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Это удобно, когда основание состоит из нескольких множителей.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Причина видна из определения: в первой степени m множителей a, а во второй n таких же множителей. После объединения получается m + n множителей a.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если m > n, то n множителей в числителе сокращаются с такими же множителями в знаменателе, и остаётся m − n множителей. Нужно, чтобы a ≠ 0, знаменатель aⁿ не был нулём, а разность показателей оставалась натуральной.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Внешний показатель n означает, что выражение aᵐ берут множителем n раз. В каждом из n блоков по m множителей, поэтому всего получается m · n множителей a.
Степень произведения равна произведению степеней его множителей: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Запись (ab)ⁿ означает, что произведение ab повторяется n раз, то есть (ab)(ab)...(ab). Переставляя множители и собирая отдельно все a и все b, получаем aⁿbⁿ.
Степень частного также можно распределить по числителю и знаменателю: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ. Действительно, частное a : b повторяется n раз, поэтому числители перемножаются между собой, как и знаменатели. Условие b ≠ 0 обязательно: делить на ноль нельзя.
В таблице сначала найдите подходящий вид выражения, затем проверьте условия применения. Особое внимание обращайте на одинаковые основания и ненулевой знаменатель. В примерах буквы считаются такими, чтобы указанные действия имели смысл.
| Свойство | Формула | Условия применения | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковыми основаниями | am · an = am+n | Основания одинаковые | 2² · 2³ = 2⁵ |
| Деление степеней с одинаковыми основаниями | am : an = am−n | a ≠ 0, m > n | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Возведение степени в степень | (am)n = amn | Показатели натуральные | (3²)³ = 3⁶ |
| Возведение произведения в степень | (ab)n = anbn | Произведение возводится целиком | (2x)³ = 2³x³ |
| Возведение частного в степень | (a : b)n = an : bn | b ≠ 0 | (x : 4)² = x² : 16 |
Основания обеих степеней равны 2, поэтому подходит свойство умножения. Не нужно вычислять каждую степень отдельно: достаточно объединить одинаковые множители. Показатели сложатся.
Ответ: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
В выражении встречаются два действия, поэтому выполняем их по порядку свойств. Сначала преобразуем степень степени, а затем разделим степени с одинаковым основанием 3. Такой порядок не меняет выражение и уменьшает риск перепутать показатели.
Ответ: (3²)⁴ : 3⁵ = 3³.
Здесь основание первой степени является произведением числового множителя и степеней букв. Сначала раскроем степень произведения и возведём каждую степень в квадрат, затем выполним деление. Условия a ≠ 0 и b ≠ 0 позволяют сокращать степени букв.
Ответ: a⁴b³.
Первая ошибка — складывать показатели у степеней с разными основаниями, например считать a² · b³ равным (ab)⁵. Так делают, потому что видят умножение и вспоминают только часть правила. Проверьте, совпадают ли основания; если нет, сложение показателей запрещено.
Вторая ошибка — складывать показатели при возведении степени в степень: (a²)³ ошибочно превращают в a⁵. Причина в смешении правил умножения и вложенных степеней. Внешняя степень повторяет внутреннюю, поэтому показатели нужно умножать: a⁶.
Третья ошибка — считать, что (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Свойство распределения показателя относится к произведению, а не к сумме, и при раскрытии суммы появляются дополнительные слагаемые. Для проверки подставьте простые числа, например a = b = 1: при n = 2 равенства уже не будет.
Четвёртая ошибка — применять деление степеней при нулевом знаменателе или не проверять разность показателей. Такое происходит, когда формулу используют автоматически, не анализируя исходное выражение. Убедитесь, что знаменатель не равен нулю, а все сокращения допустимы.
До изучения свойств степени нужно уверенно умножать и делить числа и одночлены, а также понимать смысл повторного умножения. Без этого трудно увидеть, почему одинаковые множители объединяются или сокращаются. Полезно также внимательно различать произведение и сумму.
Правила степени пригодятся при преобразовании одночленов и сокращении алгебраических выражений. С их помощью записывают числа в стандартном виде и упрощают вычисления с большими или малыми величинами. Позже эти свойства будут использоваться в формулах и преобразовании многочленов.
Почему при умножении степеней показатели складываются?
При умножении степени превращаются в произведения одинаковых множителей. Все множители объединяются в одну группу, поэтому их общее количество, то есть показатель, складывается.
Можно ли применять свойства степени, если основания разные?
Правила сложения и вычитания показателей напрямую применяют только к степеням с одинаковыми основаниями. Например, a² · b³ нельзя заменить на одну степень с показателем 5.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножаются?
Внешняя степень показывает, сколько раз нужно взять внутреннюю степень множителем. Каждый из её множителей уже содержит одинаковое число множителей, поэтому общее количество получается умножением показателей.
Чем отличается степень произведения от суммы степеней?
Степень произведения распределяется по множителям: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Сумма степеней aⁿ + bⁿ обычно не равна (a + b)ⁿ, потому что при возведении суммы появляются дополнительные слагаемые.
Какие ограничения нужно учитывать при делении степеней?
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому при делении на aᵐ требуется a ≠ 0. Кроме того, показатель разности при записи степени с натуральным показателем должен быть положительным.
§ 10. Свойства степени с натуральным показателем
