"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает не записывать длинные произведения снова и снова: например, вместо четырёх множителей 3 пишут 3⁴. Число, которое повторяется, называют основанием, а число сверху — показателем: оно показывает, сколько раз основание входит в произведение. Чтобы вычислить степень, её раскрывают и умножают множители; знак степени отрицательного числа зависит от чётности показателя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей. Например, 4 · 4 · 4 записывают короче как 4³. Такое обозначение удобно, когда одинаковое число повторяется много раз, и помогает не путать множители при вычислениях.
Основание степени — число, которое повторяется множителем. В записи 7⁵ основание — 7, потому что именно семёрку нужно перемножить несколько раз. По основанию можно понять, какое число участвует в произведении.
Показатель степени — натуральное число, которое показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. В записи 7⁵ это число 5: в произведении должно быть пять семёрок. Показатель помогает правильно раскрыть степень и не пропустить множитель.
Запись aⁿ обозначает степень числа a с показателем n. Буква a занимает место любого основания, а n — любого натурального показателя. Такая общая запись позволяет говорить о степени, не выбирая конкретные числа.
Если записывать произведение одинаковых чисел полностью, с каждым новым множителем строка становится длиннее. Поэтому вместо n множителей a используют короткую запись aⁿ. Она передаёт ту же информацию: какое число повторяется и сколько раз его нужно взять, но занимает меньше места.
Читают aⁿ как «a в степени n» или «степень числа a с показателем n». Основание обычно пишут внизу строки, а показатель — маленькой цифрой или числом справа сверху. Такое расположение помогает сразу увидеть, какое число повторяется и сколько раз его нужно перемножить.
Показатель — это не число, на которое умножают основание, потому что он сообщает не значение множителя, а количество повторений. Например, в 2⁴ основание 2 встречается четыре раза: 2 · 2 · 2 · 2. Если же умножить 2 на показатель 4, получится 2 · 4, а это другое действие и другой результат.
Чтобы вычислить степень, сначала заменяют её произведением одинаковых множителей, а затем умножают их по порядку. Например, 3³ = 3 · 3 · 3: сначала 3 · 3 = 9, затем 9 · 3 = 27. Такой способ позволяет проверять вычисления и подходит для целых чисел, дробей и отрицательных чисел.
У отрицательного основания каждый множитель содержит знак минус. При чётном показателе минусы можно объединить в пары: произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому итоговый результат положителен. При нечётном показателе после составления пар один минус остаётся, и результат отрицателен.
В таблице показано, как показатель определяет число одинаковых множителей. В строке aⁿ вместо конкретного числа стоит буква: она означает, что основание может быть любым. Пользуйся таблицей так: найди показатель, раскрой степень нужное число раз и только потом выполняй умножение.
| Запись | Раскрытие степени | Результат |
|---|---|---|
| a¹ | a | a |
| a² | a · a | a · a |
| a³ | a · a · a | a · a · a |
| aⁿ | a · a · … · a (n множителей) | произведение n множителей a |
Показатель 3 означает, что основание 4 нужно взять в произведение три раза. Сначала раскроем степень, а потом выполним умножение слева направо. Так мы не перепутаем возведение в степень с умножением основания на показатель.
Ответ: 4³ = 64.
Скобки показывают, что основанием в обоих случаях служит всё число −3. Раскроем степени и посчитаем, учитывая знак каждого множителя. Сравнение результатов покажет, как влияет чётность показателя.
Ответ: (−3)⁴ = 81, (−3)³ = −27.
Дробь в скобках — основание, а показатель 3 требует взять её три раза. При умножении дробей перемножают числители и знаменатели. Затем отдельно вычислим выражение 2/5 · 3, чтобы увидеть, почему умножение на показатель — другое действие.
Ответ: (2/5)³ = 8/125; выражение 2/5 · 3 равно 6/5.
Ошибка: заменять aⁿ на a · n. Её допускают, потому что показатель похож на обычный множитель, но он указывает число повторений основания. Для проверки раскрой запись: например, 5³ — это три пятёрки в произведении, а не 5 · 3.
Ошибка: записывать основание не столько раз, сколько показывает показатель. Такое случается, если при раскрытии степени не пересчитать множители. Проверь их количество отдельно: у степени a⁴ в произведении должны стоять ровно четыре множителя a.
Ошибка: считать, что (−a)ⁿ всегда отрицательно. Минус в основании сбивает с толку, но при умножении отрицательные множители объединяются в пары. Проверь чётность показателя: чётное число множителей даёт положительный знак, нечётное — отрицательный.
Ошибка: терять скобки и смешивать записи (−a)ⁿ и −aⁿ. В первом случае в степень возводится всё отрицательное основание, а во втором сначала вычисляют aⁿ и только затем ставят минус. Чтобы проверить себя, явно подпиши основание: у (−a)ⁿ оно равно −a, у −aⁿ оно равно a.
Для работы со степенями нужно уметь умножать натуральные числа, дроби и отрицательные числа. Иначе раскрыть степень в произведение получится, но правильно вычислить его будет трудно. Если результат вызывает сомнение, проверь сначала саму запись произведения, а затем каждый шаг умножения.
Степени пригодятся при изучении свойств степеней, одночленов и многочленов. Короткая запись помогает компактно записывать произведения переменных и чисел. Умение различать основание и показатель станет основой для следующих действий со степенями.
Что означает запись aⁿ?
Она означает произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a. Например, a³ = a · a · a.
Как определить основание и показатель степени?
Основание — число, которое возводят в степень, а показатель — маленькое число справа сверху. В записи 5⁴ основание равно 5, показатель равен 4.
Почему aⁿ — это не то же самое, что a · n?
Показатель n указывает, сколько множителей a нужно перемножить, а не на какое число умножить a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, тогда как 3 · 4 = 12.
Как определить знак степени отрицательного числа?
Если показатель чётный, отрицательных множителей будет чётное число, и результат положителен. Если показатель нечётный, один минус останется, поэтому результат отрицателен.
Чем отличаются записи (−a)ⁿ и −aⁿ?
В записи (−a)ⁿ основание — всё отрицательное число −a, поэтому знак зависит от чётности n. В записи −aⁿ сначала возводят a в степень, а затем ставят перед результатом минус.
§ 9. Степень с натуральным показателем
